【題目】設函數(shù)f(x)=ln x-ax(a∈R)(e=2.718 28…是自然對數(shù)的底數(shù)).

(1)判斷f(x)的單調性;

(2)當f(x)<0在(0,+∞)上恒成立時,求a的取值范圍;

(3)證明:當x∈(0,+∞)時, (1+x) <e.

【答案】見解析

【解析】(1)f′(x)=-a,函數(shù)f(x)=ln x-ax的定義域為(0,+∞),

當a≤0時,f′(x)>0,此時f(x)在(0,+∞)上是增函數(shù),

當a>0時,x∈時,f′(x)>0,此時f(x)在上是增函數(shù),x∈時,f′(x)<0,此時f(x)在上是減函數(shù).

綜上,當a≤0時,f(x)在(0,+∞)上是增函數(shù),當a>0時,f(x)在上是增函數(shù),在上是減函數(shù).

(2)f(x)<0在(0,+∞)上恒成立,即a>在(0,+∞)上恒成立,

設g(x)=,則g′(x)=,

當x∈(0,e)時,g′(x)>0,g(x)為增函數(shù),當x∈(e,+∞)時,g′(x)<0,g(x)為減函數(shù),

故當x=e時,g(x)取得最大值,

所以a的取值范圍是.

(3)證明:要證當x∈(0,+∞)時, (1+x) <e,設t=1+x,t∈(1,+∞),只要證t<et,兩邊取以e為底數(shù)的對數(shù),即ln t<t-1.

由(1)知當a=1時,f(x)=ln x-x的最大值為-1,此時x=1,所以當t∈(1,+∞)時,ln t-t<-1,

即得ln t<t-1,所以原不等式成立.

練習冊系列答案
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頻率







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奧運迷

奧運迷

合計

歲以下




歲以上




合計




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2

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答對題目數(shù)

[0,8)

8

9

10

2

13

12

8

3

37

16

9

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