Question

【題目】已知函數(shù)．

（Ⅰ）討論函數(shù)的單調(diào)性；

（Ⅱ）若對任意，≥0恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）答案不唯一，具體見解析（Ⅱ）

【解析】

（Ⅰ）求出導(dǎo)函數(shù)，分別討論≤0，＞0時(shí)，的正負(fù)，即可求解。

（Ⅱ）當(dāng)＜0，為單調(diào)遞增函數(shù)，且＜0，不滿足題意

當(dāng)＝0，＞0恒成立，滿足題意。

當(dāng)＞0時(shí)，＝≥0恒成立，等價(jià)于≥，令，結(jié)合單調(diào)性，即可求解。

（Ⅰ）解：函數(shù)的定義域?yàn)?/span>R，．

（1）當(dāng)≤0時(shí)，因?yàn)?/span>＞0，所以＞0，函數(shù)在（，）上單調(diào)遞增；

（2）當(dāng)＞0時(shí)，由＞0，得＞，由＜0，得＜，

所以，函數(shù)在（，）上單調(diào)遞減，在（，）上單調(diào)遞增．

（Ⅱ）解：（1）由（Ⅰ）知，當(dāng)＜0時(shí)，在（，）上單調(diào)遞增，

因?yàn)?/span>＞0，＜0，所以存在（，0），使＝0．

所以，當(dāng)（，）時(shí)，＜0，不合題意．

說明：當(dāng)＜0時(shí)，＜1，則＜0，≥0不恒成立．

（2）當(dāng)＝0時(shí)，＞0恒成立；

（3）當(dāng)＞0時(shí)，＝≥0恒成立，等價(jià)于對任意，≥恒成立，

令，則，

當(dāng)（，1）時(shí)，＞0，為增函數(shù)；當(dāng)（1，）時(shí)，＜0，為

減函數(shù)，所以，于是≥，所以　0＜≤．

綜上，實(shí)數(shù)的取值范圍為［0，］．