Question

設(shè)函數(shù)，a∈R．
（1）當(dāng)a=-2時，求函數(shù)f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間；
（2）當(dāng)a≠-1時，求函數(shù)f（x）的極小值．

Answer 1

【答案】分析：（1）先求當(dāng)a=-2時函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，令導(dǎo)數(shù)小于0，解得x的范圍即為函數(shù)的減區(qū)間．
（2）先求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，為令導(dǎo)數(shù)等于0，求出函數(shù)的極值點(diǎn)，極值點(diǎn)把函數(shù)的定義域分成幾個區(qū)間，按a與0，-1的大小比較分情況討論函數(shù)在各區(qū)間上的單調(diào)性，當(dāng)在極值點(diǎn)左側(cè)導(dǎo)數(shù)小于0，右側(cè)導(dǎo)數(shù)大于0，此極值點(diǎn)處取得極小值，再代入原函數(shù)即可．
解答：解：（1）當(dāng)a=-2時，f（x）=
∴f'（x）=-2x²+3x-1=-（2x-1）（x-1），
令f'（x）＜0，解得x＞1或
∴f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間是（1，+∞），．
（2）f'（x）=f（x）=ax²+（1-a）x-1=（ax+1）（x-1）
當(dāng)a=0時，f'（x）=x-1，當(dāng)x＜1時，f'（x）＜0．當(dāng)x＞1時，f'（x）＞0，當(dāng)x=1時，f'（x）=0
∴f（x）在（-∞，1）內(nèi)單調(diào)遞減，（1，+∞）單調(diào)遞增，f（x）的極小值=
當(dāng)a≠0時，令f'（x）=0，解得
當(dāng)a＞0時，-＜1，列表如下：

x				1	（1，+∞）
f′（x）	-		-		+
f（x）	遞增		遞減		遞增

f（x）的極小值=
當(dāng)-1＜a＜0時，1＜-，列表如下：

x	（-∞，1）	1
f′（x）	-		+		-
f（x）	遞減		遞增		遞減

f（x）的極小值=
當(dāng)a＜-1時，列表如下：

x				1	（1，+∞）
f′（x）	-		+		-
f（x）	遞減		遞增		遞減

f（x）的極小值=，
所以函數(shù)f（x）的極小值=．
點(diǎn)評：本題主要考查利用函數(shù)的導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，極值，其中含有參數(shù)，要對參數(shù)進(jìn)行討論．