Question

【題目】已知定義域為R的函數(shù)是奇函數(shù)。

（1）求a的值.

（2）判斷函數(shù)f（x）在R上的單調(diào)性并證明你的結(jié)論.

（3）求函數(shù)f（x）在R上的值域.

Answer 1

【答案】（1）1；（2）單調(diào)遞增，理由詳見解析；（3）（－1，1）.

【解析】

（1）利用求出的值；（2）利用函數(shù)單調(diào)性的定義證明f（x）在R上的單調(diào)性；（3）利用不等式性質(zhì)逐步推理得到函數(shù)函數(shù)f（x）在R上的值域.

（1）由題得，

所以.

經(jīng)檢驗當(dāng)時，函數(shù)f（-x）=-f（x），滿足是奇函數(shù)，所以.

（2）f（x）在R上單調(diào)遞增.

證明如下：在R上任取，設(shè)，則＝

又∵3x＞0，∴，，

∵單調(diào)遞增

∴，∴，

∴f（x）在R上單調(diào)遞增.

（3），

∵3x＋1＞1，

∴0＜

∴－2＜－，

∴f（x）∈（－1，1）.

所以函數(shù)f（x）在R上的值域為（－1，1）.