Question

如圖，圓C與y軸相切于點T（0，2），與x軸正半軸相交于兩點M，N（點M在點N的左側(cè)），且|MN|=3．
（Ⅰ）求圓C的方程；
（Ⅱ）過點M任作一條直線與橢圓Γ：

x2

4

+

y2

8

=1相交于兩點A、B，連接
AN、BN，求證：∠ANM=∠BNM．

Answer 1

考點：直線和圓的方程的應(yīng)用

專題：計算題,圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：（Ⅰ）設(shè)圓C的半徑為r（r＞0），由|MN|=3可得r2=(

3

2

)2+22，從而求圓C的方程；
（Ⅱ）求出點M（1，0），N（4，0），討論當(dāng)AB⊥x軸時與AB與x軸不垂直時∠ANM是否相等∠BNM，從而證明．

解答： 解：（Ⅰ）設(shè)圓C的半徑為r（r＞0），則圓心坐標(biāo)為（r，2）．
∵|MN|=3，
∴r2=(

3

2

)2+22，解得r2=

25

4

．
∴圓C的方程為(x-

5

2

)2+(y-2)2=

25

4

．
（Ⅱ）證明：把y=0代入方程(x-

5

2

)2+(y-2)2=

25

4

，解得x=1，或x=4，
即點M（1，0），N（4，0）．
（1）當(dāng)AB⊥x軸時，由橢圓對稱性可知∠ANM=∠BNM．
（2）當(dāng)AB與x軸不垂直時，可設(shè)直線AB的方程為y=k（x-1）．
聯(lián)立方程

y=k(x-1) 2x2+y2=8

，消去y得，（k²+2）x²-2k²x+k²-8=0．
設(shè)直線AB交橢圓Γ于A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂）兩點，則x1+x2=

2k2

k2+2

，x1•x2=

k2-8

k2+2

．
∵y₁=k（x₁-2），y₂=k（x₂-2），
∴kAN+kBN=

y1

x1-4

+

y2

x2-4

=

k(x1-1)

x1-4

+

k(x2-1)

x2-4

=

k(x1-1)(x2-4)+k(x2-1)(x1-4)

(x1-4)(x2-4)

．
∵(x1-1)(x2-4)+(x2-1)(x1-4)=2x1x2-5(x1+x2)+8=

2(k2-8)

k2+2

-

10k2

k2+2

+8=0，
∴k_AN+k_BN=0，∠ANM=∠BNM．
綜上所述，∠ANM=∠BNM．

點評：本題考查了圓的方程的求法及圓錐曲線與直線的交點問題，化簡比較復(fù)雜，通過根與系數(shù)的關(guān)系簡化運算，要細(xì)心，屬于中檔題．