Question

設a∈R，函數f（x）=

1

3

x³-

1

2

（2a+1）x²+（a²+a）x．
（Ⅰ）已知f′（x）是f（x）的導函數，且g（x）=

f′(x)

x

（x≠0）為奇函數，求a的值；
（Ⅱ）若函數f（x）在x=2處取得極小值，求函數f（x）的單調遞增區(qū)間．

Answer 1

考點：利用導數研究函數的單調性,函數奇偶性的性質

專題：計算題,函數的性質及應用,導數的綜合應用

分析：（Ⅰ）求出函數f（x）的導數f'（x），得到g（x）的表達式，再由奇函數的定義，即可得到a；
（Ⅱ）求出f（x）的導數，求出單調區(qū)間，得到極值，令極小值點為2，解出a，進而得到單調增區(qū)間．

解答： 解：（Ⅰ）f'（x）=x²-（2a+1）x+（a²+a），
故 g(x)=

f′(x)

x

=x+

a2+a

x

-(2a+1)，x≠0，
∵g(x)=

f′(x)

x

(x≠0)為奇函數，
∴?x≠0，g（-x）+g（x）=0，即2a+1=0，
∴a=-

1

2

；                                
（Ⅱ）f'（x）=x²-（2a+1）x+（a²+a）=（x-a）[x-（a+1）]，
列表如下：

x	（-∞，a）	（a，a+1）	（a+1，+∞）
f'（x）	+	-	+

∴f（x）在x=a+1處取得極小值，在x=a處取得極大值，
由題設a+1=2，∴a=1；              
所以函數的遞增區(qū)間為（-∞，1），（2，+∞）．

點評：本題考查導數的運用：求單調區(qū)間和求極值，考查函數的奇偶性及運用，考查求導的運算能力，屬于中檔題．