Question

5．如圖，在四棱錐E-ABCD中，AE⊥DE，CD⊥平面ADE，AB⊥平面ADE，CD=DA=6，AB=2，DE=3．
（Ⅰ）求棱錐C-ADE的體積；
（Ⅱ）求證：平面ACE⊥平面CDE；
（Ⅲ）在線段DE上是否存在一點(diǎn)F，使AF∥平面BCE？若存在，求出$\frac{EF}{ED}$的值；若不存在，說(shuō)明理由．

Answer 1

分析 （I）在Rt△ADE中，AE=$\sqrt{A{D}^{2}-D{E}^{2}}$，可得S_△ADE=$\frac{1}{2}AE•DE$．由于CD⊥平面ADE，可得V_C-ADE=$\frac{1}{3}CD•{S}_{△ADE}$．
（II）由CD⊥平面ADE，可得CD⊥AE，進(jìn)而得到AE⊥平面CDE，即可證明平面ACE⊥平面CDE；
（III）在線段DE上存在一點(diǎn)F，使AF∥平面BCE，$\frac{EF}{ED}$=$\frac{1}{3}$．設(shè)F為線段DE上的一點(diǎn)，且$\frac{EF}{ED}$=$\frac{1}{3}$．過(guò)F作FM∥CD交CE于點(diǎn)M，由線面垂直的性質(zhì)可得：CD∥AB．可得四邊形ABMF是平行四邊形，于是AF∥BM，即可證明AF∥平面BCE．

解答 （I）解：在Rt△ADE中，AE=$\sqrt{A{D}^{2}-D{E}^{2}}$=3$\sqrt{3}$，
∴S_△ADE=$\frac{1}{2}AE•DE$=$\frac{1}{2}×3\sqrt{3}×3$=$\frac{9\sqrt{3}}{2}$．∵CD⊥平面ADE，∴V_C-ADE=$\frac{1}{3}CD•{S}_{△ADE}$=$\frac{1}{3}×6×\frac{9\sqrt{3}}{2}$=9$\sqrt{3}$．
（II）證明：∵CD⊥平面ADE，∴CD⊥AE，又AE⊥ED，ED∩CD=D，∴AE⊥平面CDE，又AE?平面ACE，∴平面ACE⊥平面CDE；
（III）解：在線段DE上存在一點(diǎn)F，使AF∥平面BCE，$\frac{EF}{ED}$=$\frac{1}{3}$．
下面給出證明：設(shè)F為線段DE上的一點(diǎn)，且$\frac{EF}{ED}$=$\frac{1}{3}$．
過(guò)F作FM∥CD交CE于點(diǎn)M，則FM=$\frac{1}{3}CD$，
∵CD⊥平面ADE，AB⊥平面ADE，
∴CD∥AB．又CD=3AB，
∴$MF\underset{∥}{=}AB$，
∴四邊形ABMF是平行四邊形，
∴AF∥BM，又AF?平面BCE，BM?平面BCE．
∴AF∥平面BCE．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了線面面面垂直與平行的判定與性質(zhì)定理、三棱錐的體積計(jì)算公式、平行線分線段成比例定理，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．