Question

15．某市在2 015年2月份的高三期末考試中對(duì)數(shù)學(xué)成績(jī)數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)顯示，全市10000名學(xué)生的成績(jī)服從正態(tài)分布N （120，25），現(xiàn)某校隨機(jī)抽取了50名學(xué)生的數(shù)學(xué)成績(jī)分析，結(jié)果這50名同學(xué)的成績(jī)?nèi)�部介�?0分到140分之間現(xiàn)將結(jié)果按如下方式分為6組，第一組[85，95），第二組[95，105），…第六組[135，145]，得到如圖所示的頻率分布直方圖．
（I）試估計(jì)該校數(shù)學(xué)的平均成績(jī)；
（Ⅱ）這50名學(xué)生中成績(jī)?cè)?25分（含125分）以上的同學(xué)中任意抽取3人，該3人在全市前13名的人數(shù)記為X，求X的分布列和期望．
附：若 X～N（μ，σ²），則P（u-3σ＜X＜u+3σ）=0.9974．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)頻率和為1，求出成績(jī)?cè)赱120，130）的頻率，再計(jì)算這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)；
（2）根據(jù)正態(tài)分布的特征，計(jì)算50人中成績(jī)?cè)?35以上（包括135分）的有50×0.08=4人，而在[125，145）的學(xué)生有50×（0.12+0.08）=10，得出X的可能取值，計(jì)算對(duì)應(yīng)的概率，列出X的分布列，計(jì)算期望值．

解答 解：（1）由頻率分布直方圖可知[120，130）的頻率為1-（0.01×10+0.024×10+0.03×10+0.016×10+0.008×10）=0.12
所以估計(jì)該校全體學(xué)生的數(shù)學(xué)平均成績(jī)約為90×0.1+100×0.24+110×0.3+120×0.16+130×0.12+140×0.08=112
（2）由于$\frac{13}{10000}=0.0013$根據(jù)正態(tài)分布：P（120-3×5＜X＜120+3×5）=0.9974
故$P（X≥135）=\frac{1-0.9974}{2}=0.0013，即0.0013×10000=13$
所以前13名的成績(jī)?nèi)�部�?35分以上
根據(jù)頻率分布直方圖可知這50人中成績(jī)?cè)?35以上（包括135分）的有50×0.08=4人，而在[125，145）的學(xué)生有50×（0.12+0.08）=10
所以X的取值為0，1，2，3．
所以P（X=0）=$\frac{{C}_{6}^{3}}{{C}_{10}^{3}}$=$\frac{1}{6}$，
P（X=1）=$\frac{{C}_{6}^{2}{C}_{4}^{1}}{{C}_{10}^{3}}$=$\frac{1}{2}$，
P（X=2）=$\frac{{C}_{6}^{1}{C}_{4}^{2}}{{C}_{10}^{3}}$=$\frac{3}{10}$，
P（X=3）=$\frac{{C}_{4}^{3}}{{C}_{10}^{3}}$=$\frac{1}{30}$；
所以X的分布列為

X	0	1	2	3
P	$\frac{1}{6}$	$\frac{1}{2}$	$\frac{3}{10}$	$\frac{1}{30}$

數(shù)學(xué)期望值為EX=0×$\frac{1}{6}$+1×$\frac{1}{2}$+2×$\frac{3}{10}$+3×$\frac{1}{30}$=1.2．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了頻率分布直方圖的應(yīng)用問(wèn)題，也考查了正態(tài)分布的應(yīng)用問(wèn)題，考查了離散型隨機(jī)變量的分布列與期望的計(jì)算問(wèn)題，是綜合性題目．