Question

3．已知A={（x，y）|ax+by=1}，B={（x，y）|x≥0，y≥1，x+y≤2}，若A∩B≠∅恒成立，則2a+3b的取值范圍是[$\frac{5}{2}，3$]．

Answer 1

分析 由題意畫出集合B所表示的圖形，結(jié)合A∩B=∅得到a，b所滿足的不等式組，由線性規(guī)劃知識(shí)結(jié)合補(bǔ)集思想求得2a+3b的取值范圍．

解答 解：由題意畫出集合B所表示的圖形如圖，

若A∩B=∅，則$\left\{\begin{array}{l}{b-1＞0}\\{2b-1＞0}\\{a+b-1＞0}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{b-1＜0}\\{2b-1＜0}\\{a+b-1＜0}\end{array}\right.$．
令z=2a+3b．
作出可行域如圖，

化z=2a+3b為$b=-\frac{2}{3}a+\frac{z}{3}$，
由圖可知，當(dāng)直線$b=-\frac{2}{3}a+\frac{z}{3}$過（0，1）時(shí)，z的值為3；
當(dāng)直線$b=-\frac{2}{3}a+\frac{z}{3}$過（$\frac{1}{2}，\frac{1}{2}$）時(shí)，z的值為$\frac{5}{2}$．
由補(bǔ)集思想可得：若A∩B≠∅恒成立，則2a+3b的取值范圍是[$\frac{5}{2}，3$]．
故答案為：[$\frac{5}{2}，3$]．

點(diǎn)評(píng) 本題考查交集及其運(yùn)算，考查了數(shù)形結(jié)合的解題思想方法及數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想方法，難度較大．