Question

【題目】如圖，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝AA1，且E，F分別是BC，B1C1中點(diǎn)．

（1）求證：A1B∥平面AEC1；

（2）求直線AF與平面AEC1所成角的正弦值．

Answer 1

【答案】（1）見解析（2）．

【解析】

(1) 連接交于點(diǎn),連接再證明即可.

(2) 作于,連接,再證明即為直線與平面所成角再求解即可.

證明：（1）連接A1C交AC1于點(diǎn)O,連接EO

∵ACC1A1為正方形,∴O為A1C中點(diǎn),

又E為CB中點(diǎn),∴EO為△A1BC的中位線,

∴EO∥A1B,

又EO平面AEC1,A1B平面AEC1,

∴A1B∥平面AEC1.

解：（2）作FM⊥EC1于M,連接AM,

∵AB＝AC,E為BC的中點(diǎn),

∴AE⊥BC,

又∵平面ABC⊥平面BCC1B1,且平面ABC⊥平面BCC1B1＝BC,

AE平面ABC,∴AE⊥平面BCC1B1,

而AE平面AEC1,

∴平面AEC1⊥平面BCC1B1,∴FM⊥平面AEC1,

∴∠FAM即為直線AF與平面AEC1所成角,

設(shè)AB＝AC＝AA1＝1,

則在Rt△AFM中,

在中,,,

因?yàn)?/span>,所以,解得,

在中,,故,

∴直線AF與平面AEC1所成角的正弦值sin∠FAM.