Question

已知函數(shù)f（x）=x²+mx-lnx，m∈R
（Ⅰ）若函數(shù)f（x）在[1，3]上是增函數(shù)，求實(shí)數(shù)m的取值范圍；
（Ⅱ）令F（x）=f（x）-x²，是否存在實(shí)數(shù)m，當(dāng)x∈（0，e]（e是自然常數(shù)）時，函數(shù)F（x）的最小值是2，若存在，求出m的值；若不存在，說明理由．

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值,利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性

專題：綜合題,導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（Ⅰ）若函數(shù)f（x）在[1，3]上是增函數(shù)，則f′（x）=

2x2+mx-1

x

≥0在[1，3]上恒成立，即可求實(shí)數(shù)m的取值范圍；
（Ⅱ）先假設(shè)存在實(shí)數(shù)m，求導(dǎo)得g′（x）=

mx-1

x

，m在系數(shù)位置對它進(jìn)行討論，結(jié)合x∈（0，e]，分三種情況進(jìn)行．

解答： 解：（Ⅰ）∵函數(shù)f（x）在[1，3]上是增函數(shù)，
∴f′（x）=

2x2+mx-1

x

≥0在[1，3]上恒成立，
令h（x）=2x²+mx-1，則

h(1)≥0 h(3)≥0

得m≥-1；
（Ⅱ）假設(shè)存在實(shí)數(shù)m，使g（x）=mx-lnx（x∈（0，e]）有最小值2，g′（x）=

mx-1

x

當(dāng)m≤0時，g（x）在（0，e]上單調(diào)遞減，g（x）_min=g（e）=me-1=2，∴m=

3

e

（舍去），
∴g（x）無最小值．
當(dāng)0＜

1

m

＜e時，g（x）在（0，

1

m

）上單調(diào)遞減，在（

1

m

，e]上單調(diào)遞增
∴g（x）_min=g（

1

m

）=1+lnm=2，m=e，滿足條件．
當(dāng)

1

m

≥e時，g（x）在（0，e]上單調(diào)遞減，g（x）_min=g（e）=me-1=2，∴m=

3

e

（舍去），
∴f（x）無最小值．
綜上，存在實(shí)數(shù)m=e，使得當(dāng)x∈（0，e]時g（x）有最小值2．

點(diǎn)評：本題主要考查轉(zhuǎn)化化歸、分類討論等思想的應(yīng)用，函數(shù)若為單調(diào)函數(shù)，則轉(zhuǎn)化為不等式恒成立問題，解決時往往又轉(zhuǎn)化求函數(shù)最值問題．