Question

已知函數(shù)f（x）=

1

(x-1)2

+aln（x-1），a為常數(shù)．
（1）判斷f（x）的單調(diào)性，并寫出單調(diào)區(qū)間．
（2）當(dāng)a=1時(shí)，證明：對(duì)x≥2的函數(shù)f（x）圖象不可能在直線y=x-1上方．

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性,利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值

專題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（1）先求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，再分別討論a＞0，a≤0時(shí)的情況，從而求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，（2）令h（x）=f（x）-（x-1），通過(guò)求導(dǎo)得出h（x）在[2，+∞）上單調(diào)遞減，從而h（x）≤h（2）=0，進(jìn)而問題得證．

解答： 解：（1）f（x）=

1

(x-1)2

+aln（x-1），（x＞1），
∴f′（x）=

2-a(1-x)2

(1-x)3

．
當(dāng)a＞0時(shí)，
令f'（x）＞0得：x＞1+

2 a

，x＜1-

2 a

（舍），
令f′（x）＜0，解得：1＜x＜1+

2 a

，
∴當(dāng)x∈（1，1+

2 a

）時(shí)，f（x）單調(diào)遞減；
當(dāng)x∈（1+

2 a

，+∞）時(shí)，f（x）單調(diào)遞增．
當(dāng)a≤0時(shí)，f'（x）＜0恒成立，
∴f（x）在（1，+∞）遞減，
綜上所述，當(dāng)a＞0時(shí)，
f（x）在（1，1+

2 a

）遞減，在（1+

2 a

，+∞）遞增，
當(dāng)a≤0時(shí)，f（x）在（1，+∞）遞減．
（2）證明：a=1時(shí)，f（x）=

1

(x-1)2

+ln（x-1），
令h（x）=f（x）-（x-1），
∴h′（x）=

2-x

x-1

-

2

(x-1)3

，
x≥2時(shí)，h′（x）＜0，
∴h（x）在[2，+∞）上單調(diào)遞減，
∴h（x）≤h（2）=0．
當(dāng)a=1時(shí)，對(duì)x≥2的函數(shù)f（x）圖象不可能在直線y=x-1上方．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性極值與最值，考查了分類討論的思想方法，考查了推理能力和計(jì)算能力，考查了靈活解決問題的能力．