Question

已知曲線y=f（x）=2x³+4．
（1）求曲線在點(diǎn)P（-1，2）處的切線方程；
（2）求曲線過點(diǎn)P（-1，2）的切線方程；
（3）求斜率為24的切線方程．

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程

專題：計(jì)算題,導(dǎo)數(shù)的概念及應(yīng)用

分析：（1）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，求出切線的斜率，由點(diǎn)斜式方程，即可得到切線方程；
（2）設(shè)出切點(diǎn)，求出切線的斜率，由兩點(diǎn)的斜率公式得到方程，結(jié)合切點(diǎn)在曲線上，解方程，即可得到切點(diǎn)，從而得到切線方程；
（3）設(shè)出切點(diǎn)，令導(dǎo)數(shù)為24，求出切點(diǎn)，由點(diǎn)斜式方程即可得到切線方程．

解答： 解：（1）y=2x³+4的導(dǎo)數(shù)y′=6x²，則切線的斜率為6，則切線方程為：y-2=6（x+1），即為y=6x+8；
（2）令切點(diǎn)（m，n），則切線的斜率為6m²，由兩點(diǎn)的斜率公式得

n-2

m+1

=6m²，①
又n=2m³+4②，由①②解得，m=-1或

1

2

，
則切線的斜率為6或

3

2

，即切線方程為y=6x+8或y-2=

3

2

（x+1），
故所求的切線方程為：y=6x+8或y=

3

2

x+

7

2

；
（3）y=2x³+4的導(dǎo)數(shù)y′=6x²，令y′=24，則x=±2，
將x=2代入曲線方程，得y=20；將x=-2代入曲線方程，得y=-12．
即切點(diǎn)為（2，20），或（-2，-12）．
則切線方程為：y-20=24（x-2）或y+12=24（x+2），
即有y=24x-28或y=24x+36．

點(diǎn)評：本題考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義：曲線在某點(diǎn)處的切線的斜率，注意過某點(diǎn)和在某點(diǎn)處的切線，考查運(yùn)算能力，本題屬于中檔題．