【題目】已知函數(shù)，曲線在點(diǎn)處的切線與軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為.

（1）求；

（2）證明：當(dāng)時(shí)，曲線與直線只有一個(gè)交點(diǎn).

【答案】（1）；（2）詳見(jiàn)解析．

【解析】

試題（1），由導(dǎo)數(shù)的幾何意義得，故切線方程為，將點(diǎn)代入求；（2）曲線與直線只有一個(gè)交點(diǎn)轉(zhuǎn)化為函數(shù)有且只有零點(diǎn)．一般思路往往利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間和極值點(diǎn)，從而判斷函數(shù)大致圖象，再說(shuō)明與軸只有一個(gè)交點(diǎn)．本題首先入手點(diǎn)為，當(dāng)時(shí)，，且，，所以在有唯一實(shí)根．只需說(shuō)明當(dāng)時(shí)無(wú)根即可，因?yàn)?/span>，故只需說(shuō)明，進(jìn)而轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最小值問(wèn)題處理．

（1），．曲線在點(diǎn)處的切線方程為．由題設(shè)得，，所以．

（2）由（1）得，．設(shè)．由題設(shè)得．當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，，，所以在有唯一實(shí)根．當(dāng)時(shí)，令，則．，在單調(diào)遞減；在單調(diào)遞增．所以．所以在沒(méi)有實(shí)根，綜上，在上有唯一實(shí)根，即曲線與直線只有一個(gè)交點(diǎn)．

練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程

在平面直角坐標(biāo)系，將曲線上的每一個(gè)點(diǎn)的橫坐標(biāo)保持不變，縱坐標(biāo)縮短為原來(lái)的，得到曲線，以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)， 軸的正半軸為極軸，建立極坐標(biāo)系， 的極坐標(biāo)方程為．

（Ⅰ）求曲線的參數(shù)方程；

（Ⅱ）過(guò)原點(diǎn)且關(guān)于軸對(duì)稱的兩條直線與分別交曲線于、和、，且點(diǎn)在第一象限，當(dāng)四邊形的周長(zhǎng)最大時(shí)，求直線的普通方程．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】A，B兩組各有7位病人，他們服用某種藥物后的康復(fù)時(shí)間（單位：天）記錄如下：

A組：10，11，12，13，14，15，16；

B組：12，13，15，16，17，14，.

假設(shè)所有病人的康復(fù)時(shí)間相互獨(dú)立，從A，B兩組隨機(jī)各選1人，A組選出的人記為甲，B組選出的人記為乙.

（1）求甲的康復(fù)時(shí)間不少于14天的概率；

（2）如果，求甲的康復(fù)時(shí)間比乙的康復(fù)時(shí)間長(zhǎng)的概率.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】已知函數(shù)，在區(qū)間上有最大值，最小值，設(shè)函數(shù).

（1）求的值；

（2）不等式在上恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍；

（3）方程有三個(gè)不同的實(shí)數(shù)解，求實(shí)數(shù)的取值范圍.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程

已知直線的參數(shù)方程為（為參數(shù)， ），以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)， 軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，圓的極坐標(biāo)方程為.

（Ⅰ）討論直線與圓的公共點(diǎn)個(gè)數(shù)；

（Ⅱ）過(guò)極點(diǎn)作直線的垂線，垂足為，求點(diǎn)的軌跡與圓相交所得弦長(zhǎng).

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】質(zhì)檢部門(mén)從某超市銷售的甲、乙兩種食用油中分別隨機(jī)抽取100桶檢測(cè)某項(xiàng)質(zhì)量指標(biāo)，由檢測(cè)結(jié)果得到如圖的頻率分布直方圖：

(I)寫(xiě)出頻率分布直方圖(甲）中的值；記甲、乙兩種食用油100桶樣本的質(zhì)量指標(biāo)的方差分別為，試比較的大�。ㄖ灰髮�(xiě)出答案）；

(Ⅱ)佑計(jì)在甲、乙兩種食用油中各隨機(jī)抽取1桶，恰有一個(gè)桶的質(zhì)量指標(biāo)大于20，且另—個(gè)桶的質(zhì)量指標(biāo)不大于20的概率；

(Ⅲ)由頻率分布直方圖可以認(rèn)為，乙種食用油的質(zhì)量指標(biāo)值服從正態(tài)分布.其中近似為樣本平均數(shù)，近似為樣本方差，設(shè)表示從乙種食用油中隨機(jī)抽取10桶，其質(zhì)量指標(biāo)值位于（14.55， 38.45)的桶數(shù)，求的數(shù)學(xué)期望.

注：①同一組數(shù)據(jù)用該區(qū)間的中點(diǎn)值作代表，計(jì)算得：

②若，則，.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】釣魚(yú)島及其附屬島嶼是中國(guó)固有領(lǐng)土，如圖:點(diǎn)分別表示釣魚(yú)島、南小島、黃尾嶼，點(diǎn)在點(diǎn)的北偏東方向，點(diǎn)在點(diǎn)的南偏西方向，點(diǎn)在點(diǎn)的南偏東方向，且兩點(diǎn)的距離約為3海里.

(1)求兩點(diǎn)間的距離；(精確到0.01)

(2)某一時(shí)刻，我國(guó)一漁船在點(diǎn)處因故障拋錨發(fā)出求教信號(hào).一艘國(guó)艦艇正從點(diǎn)正東10海里的點(diǎn)處以18海里/小時(shí)的速度接近漁船，其航線為 (直線行進(jìn))，而我東海某漁政船正位于點(diǎn)南偏西方向20海里的點(diǎn)處，收到信號(hào)后趕往救助，其航線為先向正北航行8海里至點(diǎn)處，再折向點(diǎn)直線航行，航速為22海里/小時(shí).漁政船能否先于國(guó)艦艇趕到進(jìn)行救助?說(shuō)明理由.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】已知.

（1）求證：恒成立；

（2）試求的單調(diào)區(qū)間；

（3）若，，且，其中，求證：恒成立.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】某技校開(kāi)展技能大賽，甲、乙兩班各選取5名學(xué)生加工某種零件，在4個(gè)小時(shí)內(nèi)每名學(xué)生加工的合格零件數(shù)的統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)的莖葉圖如圖所示，已知甲班學(xué)生在4個(gè)小時(shí)內(nèi)加工的合格零件數(shù)的平均數(shù)為21，乙班學(xué)生在4個(gè)小時(shí)內(nèi)加工的合格零件數(shù)的平均數(shù)不低于甲班的平均數(shù).

（1）求的值；

（2）分別求出甲、乙兩班學(xué)生在4個(gè)小時(shí)內(nèi)加工的合格零件數(shù)的方差和，并由此比較兩班學(xué)生的加工水平的穩(wěn)定性.

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