Question

設(shè)數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，a₁=1，S_n+1=4a_n+2（n∈N₊）．
（1）若b_n=a_n+1-2a_n，求b_n；
（2）若d_n=

an

2n-1

，證明{d_n}是等差數(shù)列．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列遞推式,等差關(guān)系的確定

專題：綜合題,等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（1）由已知利用遞推關(guān)系即可得出b_n+1=2b_n，利用等比數(shù)列的通項(xiàng)公式即可得出b_n；
（2）利用等差數(shù)列的定義即可證明．

解答： 解：（1）∵a₁=1，S_n+1=4a_n+2（n∈N₊），
∴S_n+2=4a_n+1+2a_n+2=S_n+2-S_n+1=4（a_n+1-a_n），
∴a_n+2-2a_n+1=2（a_n+1-2a_n）
即b_n+1=2b_n
∴{b_n}是公比為2的等比數(shù)列，且b₁=a₂-2a₁
∵a₁=1，a₂+a₁=S₂
即a₂+a₁=4a₁+2，
∴a₂=3a₁+2=5，
∴b₁=5-2=3，
∴b_n=3•2^n-1．
（2）∵d_n=

an

2n-1

，b_n=3•2^n-1，
∴d_n+1-d_n=

an+1

2n

-

an

2n-1

=

bn

2n

=

3

2

，
∴{d_n}是等差數(shù)列．

點(diǎn)評(píng)：熟練掌握遞推關(guān)系、等比數(shù)列的通項(xiàng)公式、等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式、等差數(shù)列的定義是解題的關(guān)鍵．