Question

5．設(shè)函數(shù)f（x）=$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow$，其中$\overrightarrow{a}$=（cos2x，2sin（$\frac{π}{4}$+x）），$\overrightarrow$=（$\sqrt{3}$，-sin（$\frac{π}{4}$+x）），x∈R．
（1）求函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間；
（2）求實數(shù)m為何值時，關(guān)于x的方程：f（x）+m+2=0在x∈[$\frac{π}{4}$，$\frac{π}{2}$]上有一解，兩解？

Answer 1

分析 （1）運用向量的數(shù)量積的坐標(biāo)表示，結(jié)合二倍角公式和兩角和的余弦公式，運用余弦函數(shù)的增區(qū)間，解不等式即可得到所求；
（2）求得f（x）在x∈[$\frac{π}{4}$，$\frac{π}{2}$]上的單調(diào)性和值域，結(jié)合條件，解m的不等式，即可得到m的范圍．

解答 解：（1）由題意可得，f（x）=$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow$=$\sqrt{3}$cos2x-2sin²（x+$\frac{π}{4}$）
=$\sqrt{3}$cos2x-（1-cos（2x+$\frac{π}{2}$））=$\sqrt{3}$cos2x-sin2x-1
=2cos（2x+$\frac{π}{6}$）-1，
由2kπ-π≤2x+$\frac{π}{6}$≤2kπ，
解得kπ-$\frac{7π}{12}$≤x≤kπ-$\frac{π}{12}$，k∈Z，
即有函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為[kπ-$\frac{7π}{12}$，kπ-$\frac{π}{12}$]，k∈Z；
（2）由x∈[$\frac{π}{4}$，$\frac{π}{2}$]，可得2x+$\frac{π}{6}$∈[$\frac{2π}{3}$，$\frac{7π}{6}$]，
即有cos（2x+$\frac{π}{6}$）∈[-1，-$\frac{1}{2}$]，
即有f（x）的值域為[-3，-2]，
且f（x）在[$\frac{π}{4}$，$\frac{5π}{12}$]遞減，在[$\frac{5π}{12}$，$\frac{π}{2}$]遞增，
則當(dāng)-m-2=-3和-$\sqrt{3}$-1＜-m-2≤-2，
即m=1和0≤m＜$\sqrt{3}$-1時，f（x）+m+2=0有一解，
當(dāng)-3＜-m-2≤-1-$\sqrt{3}$即$\sqrt{3}$-1≤m＜1時，
f（x）+m+2=0有兩解．

點評 本題考查向量的數(shù)量積的坐標(biāo)表示，二倍角公式和兩角和的余弦公式，及余弦函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，同時考查余弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)，注意函數(shù)和方程的轉(zhuǎn)化思想的運用，屬于中檔題．