Question

設(shè)數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，且滿足2a_n-S_n=1，n∈N^*．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）在數(shù)列{a_n}的第兩項(xiàng)之間都按照如下規(guī)則插入一些數(shù)后，構(gòu)成新數(shù)列{b_n}；a_n和a_n+1兩項(xiàng)之間插入n個(gè)數(shù)，使這n+2個(gè)數(shù)構(gòu)成等差數(shù)列，求b₁₀₀的值．
（3）對(duì)于（2）中的數(shù)列{b_n}，若b_m=a₁₀₀，求m的值，并求b₁+b₂+b₃+…+b_m．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列的求和,數(shù)列遞推式

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（1）首先根據(jù)遞推關(guān)系求出數(shù)列的通項(xiàng)公式．
（2）利用dn=

an+1-an

n+1

=

2n-1

n+1

，進(jìn)一步求出求解．
（3）利用等量令：M=3a₁+5a₂+7a₃+…+201a₁₀₀，則：2M=3a₂+5a₃+7a₄+…+201a₁₀₁
2M-M=-2（a₁+a₂+…+a₁₀₀）-a₁+201a₁₀₀，求出結(jié)果．

解答： 解：（1）根據(jù)已知條件：2a_n-S_n=1，
則：2a_n+1-S_n+1=1
兩式相減得到：a_n+1=2a_n
所以：

an+1

an

=2
當(dāng)n=1時(shí)，a₁=1
所以數(shù)列{a_n}是以a₁為首，2為公比的等比數(shù)列
求得：an=2n-1
（2）在數(shù)列{a_n}的第兩項(xiàng)之間都按照如下規(guī)則插入一些數(shù)后，構(gòu)成新數(shù)列{b_n}；a_n和a_n+1兩項(xiàng)之間插入n個(gè)數(shù)，使這n+2個(gè)數(shù)構(gòu)成等差數(shù)列，設(shè)公差為d_n
dn=

an+1-an

n+1

=

2n-1

n+1

又由于：1+2+…+13=91，100-91=9
故：b100=a13+9dn=212+9•

212

14

=

23

7

•211
（3）由于：b_m=a₁₀₀，
則：m=1+2+3+…+100=5050
故：b₁+b₂+…+b₅₀₅₀=

3(a1+a2)

2

+

4(a2+a3)

2

+…+

101(a99+a100)

2

-（a₂+a₃+…+a₉₉）
=

1

2

[3a1+5a2+…+201a100]-50a100
考慮到：a_n+1=2a_n
令：M=3a₁+5a₂+7a₃+…+201a₁₀₀
則：2M=3a₂+5a₃+7a₄+…+201a₁₀₁
2M-M=-2（a₁+a₂+…+a₁₀₀）-a₁+201a₁₀₀
解得M=199•2¹⁰⁰+1
所以：b₁+b₂+…+b₅₀₅₀=

1

2

M-50a100=149•299+

1

2

點(diǎn)評(píng)：本題考查的知識(shí)要點(diǎn)：數(shù)列的通項(xiàng)公式的求法，通項(xiàng)公式的應(yīng)用，及相關(guān)的變換問題．屬于中等題型．