Question

已知：函數(shù)f（x）=log₂

x-1

x+1

，g（x）=2ax+1-a，又h（x）=f（x）+g（x）．
（1）當a=1時，求證：h（x）在x∈（1，+∞）上單調(diào)遞增，并證明函數(shù)h（x）有兩個零點；
（2）若關(guān)于x的方程f（x）=log₂g（x）有兩個不相等實數(shù)根，求a的取值范圍．

Answer 1

考點：對數(shù)函數(shù)圖象與性質(zhì)的綜合應(yīng)用

專題：計算題,函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）利用復(fù)合數(shù)的單調(diào)性證明函數(shù)的單調(diào)性，利用函數(shù)零點的判定定理求函數(shù)的零點；
（2）化簡關(guān)于x的方程f（x）=log₂g（x）有兩個不相等實數(shù)根為1-

2

x+1

=2ax+1-a在（-∞，-1）∪（1，+∞）上有兩個不相等實數(shù)根；從而求解．

解答： 解：（1）證明：h（x）=f（x）+g（x）=log₂

x-1

x+1

+2x，
=log₂（1-

2

x+1

）+2x；
∵y=1-

2

x+1

在（1，+∞）上是增函數(shù)，
故y=log₂（1-

2

x+1

）在（1，+∞）上是增函數(shù)；
又∵y=2x在（1，+∞）上是增函數(shù)；
∴h（x）在x∈（1，+∞）上單調(diào)遞增；
同理可證，h（x）在（-∞，-1）上單調(diào)遞增；
而h（1.1）=-log₂21+2.2＜0，
h（2）=-log₂3+4＞0；
故h（x）在（1，+∞）上有且僅有一個零點，
同理可證h（x）在（-∞，-1）上有且僅有一個零點，
故函數(shù)h（x）有兩個零點；
（2）由題意，關(guān)于x的方程f（x）=log₂g（x）有兩個不相等實數(shù)根可化為
1-

2

x+1

=2ax+1-a在（-∞，-1）∪（1，+∞）上有兩個不相等實數(shù)根；
故a=

2

(x+1)(1-2x)

；
結(jié)合函數(shù)a=

2

(x+1)(1-2x)

的圖象可得，

2

2×(-1)

＜a＜0；
即-1＜a＜0．

點評：本題考查了復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性的證明與函數(shù)零點的判斷，屬于中檔題．