Question

已知正方形ABCD的邊長為1，AC∩BD=O，將正方形ABCD沿對角線折起，使AC=1，得到三棱錐A-BCD，如圖所示．
（1）求證：AO⊥平面BCD；
（2）求平面ABC與平面BCD夾角的余弦值．

Answer 1

考點：二面角的平面角及求法,直線與平面垂直的判定

專題：空間位置關(guān)系與距離,空間角

分析：（1）由勾股定理得AO⊥CO，由正方形性質(zhì)得AO⊥BD，由此能證明AO⊥平面BCD．
（2）以O(shè)為原點，建立空間直角坐標系，求出平面ABC的一個法向量和平面BCD的一個法向量，利用向量法能求出平面ABC與平面BCD的夾角的余弦值．

解答： 解：（1）證明：在△AOC中，∵AC=1，AO=CO=

2

2

，
∴AC²=AO²+CO²，AO⊥CO，
又∵AC、BD是正方形ABCD的對角線，∴AO⊥BD，
又BD∩CO=O，∴AO⊥平面BCD．
（2）解：由（1）知AO⊥平面BCD，則OC、OA、OD兩兩互相垂直，
如圖，以O(shè)為原點，建立空間直角坐標系，
則O（0，0，0），A（0，0，

2

2

），C（

2

2

，0，0），
B（0，-

2

2

，0），D（0，

2

2

，0），

AC

=（

2

2

，0，-

2

2

），

BC

=（

2

2

，

2

2

，0），
設(shè)平面ABC的一個法向量

n

=（x，y，z），
則

n • BC = 2 2 x+ 2 2 y=0 n • AC = 2 2 x- 2 2 z=0

，取x=1，得

n

=（1，-1，1），

OA

=（0，0，

2

2

）是平面BCD的一個法向量，
從而cos＜

n

，

OA

＞=

n • OA

| n |•| OA |

=

3

3

，
∴平面ABC與平面BCD的夾角的余弦值為

3

3

．

點評：本小題主要考查立體幾何的相關(guān)知識，具體涉及到線面以及面面的垂直關(guān)系、二面角的求法及空間向量在立體幾何中的應(yīng)用．本小題對考生的空間想象能力與運算求解能力有較高要求．