Question

已知向量

a

=（mx²，

1-cos2x

2

+（2cos²

x

2

-1）²），

b

=（

1

mx-1

，-x）（m是常數(shù)）．
（1）若f（x）=

1

a • b

是定義域內(nèi)的奇函數(shù)，求m的值；
（2）若f（x）＞0，求實數(shù)x的取值范圍．

Answer 1

考點：平面向量數(shù)量積的運算,函數(shù)奇偶性的性質(zhì)

專題：平面向量及應用

分析：（1）由條件利用兩個向量的數(shù)量積公式求得f（x）=m-

1

x

，再根據(jù)f（x）為定義域內(nèi)的奇函數(shù)，f（-x）=-f（x），x≠0，求得m的值．
（2）不等式即x•（mx-1）＞0，分類討論，求得它的解集．

解答： 解：（1）由向量

a

=（mx²，

1-cos2x

2

+（2cos²

x

2

-1）²）=（mx²，1），

b

=（

1

mx-1

，-x），
可得f(x)=

1

a • b

=

1

mx2• 1 mx-1 -x

=

mx-1

x

=m-

1

x

．
因為f（x）為定義域內(nèi)的奇函數(shù)，所以f（-x）=-f（x），x≠0，
即m+

1

x

=-m+

1

x

恒成立，即m=0．
（2）由

a

•

b

＞0⇒

x

mx-1

＞0，即x•（mx-1）＞0（*）．
當m=0時，（*）的解為x＜0；
當m＞0時，（*）的解為x＜0或x＞

1

m

；
當m＜0時，（*）的解為

1

m

＜x＜0，
綜上所述，當m=0時，不等式的解集為{x|x＜0}；當m＞0時，不等式的解集為{x|x＜0或x＞

1

m

}；當m＜0時，不等式的解集為{x|

1

m

＜x＜0 }．

點評：本題主要考查兩個向量的數(shù)量積公式，函數(shù)的奇偶性、分式不等式的解法，屬于基礎(chǔ)題．