Question

用數(shù)學(xué)歸納法證明凸n邊形的對(duì)角線條數(shù)：f（n）=

1

2

n（n-3），（n≥3，n∈N）

Answer 1

分析：此題要求利用歸納法進(jìn)行證明，第一步驗(yàn)證n=3是否成立，第二步假設(shè)n=k時(shí)，等式成立，第三部再（2）假設(shè)的基礎(chǔ)上，驗(yàn)證n=k+1時(shí)是否成立，從而求證．

解答：解：當(dāng)n=3時(shí)，f（x）=

1

2

×3×=0，凸三邊形沒(méi)有對(duì)角線，
命題成立
（2）假設(shè)當(dāng)n=k（k≥3）時(shí)命題成立，即凸k邊形的對(duì)角線條數(shù)f（k）=

1

2

k（k-3）（k≥3），
當(dāng)k=k+1時(shí)，k+1邊形是在k邊形的基礎(chǔ)上增加了一邊，
增加了一個(gè)頂點(diǎn)A _k+1，增加的對(duì)角線是頂點(diǎn)A _k+1，與不相鄰頂點(diǎn)連線再加上原k變形的一邊A₁A_k+1，
增加的對(duì)角線條數(shù)為（k-3）+1=k-2，
∴f（k+1）=

1

2

×k（k-3）+k-1=

1

2

（k²-k-2）=

1

2

（k+1）（k-2）=

1

2

×（k+1）[（k+1）-3]
綜上當(dāng)n=k+1時(shí)，命題成立，
由（1）（2）可知，對(duì)任何n∈N₊，n≥3命題成立．

點(diǎn)評(píng)：此題考查了利用數(shù)學(xué)歸納法進(jìn)行證明等式，證明時(shí)要注意歸納法的三個(gè)基本步驟，解題時(shí)要充分利用好假設(shè)，歸納法是高考�？嫉姆椒ǎ�