Question

用數(shù)學(xué)歸納法證明凸n邊形的對(duì)角線的條數(shù)f(n)=n(n-3)(n≥3).

Answer 1

分析：證明幾何問(wèn)題,一定要弄清從n=k到n=k+1時(shí),新增加的量是多少.一般地,證明第二步時(shí),常用的方法是加一法,即在原來(lái)k的基礎(chǔ)上,再增加1個(gè),也可以從k+1個(gè)中分出1個(gè)來(lái),剩下的k個(gè)利用假設(shè).

證明：(1)當(dāng)n=3時(shí),f(3)=0,因?yàn)槿�角形沒有對(duì)角線,所以命題成立.

(2)假設(shè)n=k時(shí)(k≥3),f(k)=k(k-3)成立,當(dāng)n=k+1時(shí),凸k+1邊形由原來(lái)的k個(gè)頂點(diǎn)變?yōu)閗+1個(gè)頂點(diǎn),由幾何知識(shí)可知對(duì)角線條數(shù)增加k-1條,

即f(k+1)=f(k)+k-1=k(k-3)+k-1=(k²-3k+2k-2)= (k+1)(k-2)= (k+1)［(k+1)-3］,所以當(dāng)n=k+1時(shí),命題成立.

由(1)(2)可知,命題對(duì)于任何n∈N^*,且n≥3都成立.