Question

用數學歸納法證明凸n邊形的對角線條數：f（n）=n（n-3），（n≥3，n∈N）

Answer 1

解：當n=3時，f（x）=×3×=0，凸三邊形沒有對角線，
命題成立
（2）假設當n=k（k≥3）時命題成立，即凸k邊形的對角線條數f（k）=k（k-3）（k≥3），
當k=k+1時，k+1邊形是在k邊形的基礎上增加了一邊，
增加了一個頂點A _k+1，增加的對角線是頂點A _k+1，與不相鄰頂點連線再加上原k變形的一邊A₁A_k+1，
增加的對角線條數為（k-3）+1=k-2，
∴f（k+1）=×k（k-3）+k-1=（k²-k-2）=（k+1）（k-2）=×（k+1）[（k+1）-3]
綜上當n=k+1時，命題成立，
由（1）（2）可知，對任何n∈N₊，n≥3命題成立．
分析：此題要求利用歸納法進行證明，第一步驗證n=3是否成立，第二步假設n=k時，等式成立，第三部再（2）假設的基礎上，驗證n=k+1時是否成立，從而求證．
點評：此題考查了利用數學歸納法進行證明等式，證明時要注意歸納法的三個基本步驟，解題時要充分利用好假設，歸納法是高考�？嫉姆椒ǎ�