Question

已知函數(shù)f（x）=

ex

x+1

（x＞-1）．
（1）求曲線y=f（x）在點(diǎn)（1，f（1））處的切線方程；
（2）求f（x）的最小值．

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程,利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值

專題：計(jì)算題,導(dǎo)數(shù)的概念及應(yīng)用

分析：（1）根據(jù)曲線的解析式求出導(dǎo)函數(shù)，把P的橫坐標(biāo)代入導(dǎo)函數(shù)中即可求出切線的斜率，根據(jù)點(diǎn)的坐標(biāo)和求出的斜率寫出切線的方程即可；
（2）確定函數(shù)的單調(diào)性，即可求f（x）的最小值．

解答： 解：（1）∵f（x）=

ex

x+1

，
∴f′（x）=

xex

(x+1)2

，
∴f′（1）=

e

4

，
∵f（1）=

e

2

，
∴曲線y=f（x）在點(diǎn)（1，f（1））處的切線方程為ex-4y+e=0；
（2）令f′（x）=0，可得x=0，
x∈（-1，0）時(shí)，f′（x）＜0，函數(shù)單調(diào)遞減，x∈（0，+∞）時(shí)，f′（x）＞0，函數(shù)單調(diào)遞增，
∴x=0時(shí)，f（x）的最小值為1．

點(diǎn)評(píng)：此題考查學(xué)生會(huì)利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)的切線方程，是一道綜合題．學(xué)生在解決此類問題一定要分清“在某點(diǎn)處的切線”，還是“過某點(diǎn)的切線”；同時(shí)解決“過某點(diǎn)的切線”問題，一般是設(shè)出切點(diǎn)坐標(biāo)解決．