Question

在某中學舉辦的校園文化周活動中，從周一到周五的五天中，每天安排一項內容不同的活動供學生選擇參加，要求每位學生必須參加三項活動．其中甲同學必須參加周一的活動，不參加周五的活動，其余的三天的活動隨機選擇兩項參加．乙同學和丙同學可以在周一到周五中隨機選擇三項參加．
（1）求甲同學選周三的活動且乙同學未選周三的活動的概率；
（2）設X表示甲，乙，丙三名同學選擇周三的活動的人數之和，求X的分布列和數學期望．

Answer 1

考點：離散型隨機變量的期望與方差,相互獨立事件的概率乘法公式

專題：計算題,概率與統(tǒng)計

分析：（1）利用相互獨立事件概率公式，可求甲同學選周三的活動且乙同學未選周三的活動的概率；
（2）由于題意可以知道隨機變量ξ的可能值為0，1，2，3，利用相應的事件的概率公式即可求得隨機變量每一個值下的概率，并列出其分布列，再由期望定義求解．

解答： 解：（1）設A表示事件“甲同學選周三的活動”，B表示事件“乙同學選周三的活動”，
則P（A）=

C 1 2

C 2 3

=

2

3

，P（B）=

C 2 4

C 3 5

=

3

5

，
∵事件A，B相互獨立，
∴甲同學選周三的活動且乙同學未選周三的活動的概率為P（A

.

B

）=P（A）P（

.

B

）=

2

3

•(1-

3

5

)=

4

15

；
（2）設C表示事件“丙同學選周三的活動”，則P（C）=

C 2 4

C 3 5

=

3

5

，
X的可能取值為0，1，2，3，則
P（X=0）=

1

3

•

2

5

•

2

5

=

4

75

；P（X=1）=

2

3

•

2

5

•

2

5

+

1

3

•

3

5

•

2

5

+

1

3

•

2

5

•

3

5

=

4

15

；
P（X=2）=

2

3

•

3

5

•

2

5

+

2

3

•

2

5

•

3

5

+

1

3

•

3

5

•

3

5

=

11

25

；P（X=3）=

2

3

•

3

5

•

3

5

=

6

25

．
X的分布列

X	0	1	2	3
P	4 75	4 15	11 25	6 25

數學期望EX=0×

4

75

+1×

4

15

+2×

11

25

+3×

6

25

=

28

15

．

點評：此題屬于中檔題型，考查了隨機變量的定義及其分布列，還考查了隨機變量的期望公式及計算能力．