Question

學(xué)校為測(cè)評(píng)班級(jí)學(xué)生對(duì)任課教師的滿意度，采用“100分制”打分的方式來(lái)計(jì)分．現(xiàn)從某班學(xué)生中隨機(jī)抽取10名，以下莖葉圖記錄了他們對(duì)某教師的滿意度分?jǐn)?shù)（以十位數(shù)字為莖，個(gè)位數(shù)字為葉）：
（Ⅰ）指出這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)和中位數(shù)；
（Ⅱ）若滿意度不低于98分，則評(píng)價(jià)該教師為“優(yōu)秀”．求從這10人中隨機(jī)選取3人，至多有1人評(píng)價(jià)該教師是“優(yōu)秀”的概率；
（Ⅲ）以這10人的樣本數(shù)據(jù)來(lái)估計(jì)整個(gè)班級(jí)的總體數(shù)據(jù)，若從該班任選3人，記ξ表示抽到評(píng)價(jià)該教師為“優(yōu)秀”的人數(shù)，求ξ的分布列及數(shù)學(xué)期望．

Answer 1

考點(diǎn)：離散型隨機(jī)變量的期望與方差,眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù),互斥事件的概率加法公式

專題：應(yīng)用題,概率與統(tǒng)計(jì)

分析：（Ⅰ）根據(jù)所給的莖葉圖以及眾數(shù)和中位數(shù)的概念，得出眾數(shù)與中位數(shù)；
（Ⅱ）設(shè)A_i表示所取3人中有i個(gè)人評(píng)價(jià)該教師為“優(yōu)秀”，至多有1人評(píng)價(jià)該教師為“優(yōu)秀”記為事件A，則P（A）=P（A₀）+P（A₁），可得答案．
（Ⅲ）ξ可以取0，1，2，3，利用獨(dú)立事件概率公式，可求出ξ的分布列，代入數(shù)學(xué)期望公式，可得答案．

解答： 解：（Ⅰ）根據(jù)莖葉圖知，這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)：87；中位數(shù)：88.5                     …（2分）
（Ⅱ）設(shè)A_i表示所取3人中有i個(gè)人評(píng)價(jià)該教師為“優(yōu)秀”，至多有1人評(píng)價(jià)該教師為“優(yōu)秀”記為事件A，則P（A）=P（A₀）+P（A₁）=

C 3 7

C 3 10

+

C 1 3 C 2 7

C 3 10

=

49

60

  …（6分）
（Ⅲ）ξ的可能取值為0、1、2、3                                 …（7分）      
P（ξ=0）=(

7

10

)3=

342

1000

；P（ξ=1）=

C

1 3

•

3

10

•(

7

10

)2=

441

1000

P（ξ=2）=

C

2 3

•(

3

10

)2•

7

10

=

189

1000

；P（ξ=3）=(

3

10

)3=

27

1000

分布列為

ξ	0	1	2	3
P	342 1000	441 1000	189 1000	27 1000

…（11分）
Eξ=0×

342

1000

+1×

441

1000

+2×

189

1000

+3×

27

1000

=0.9．…（12分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查的知識(shí)點(diǎn)是離散型隨機(jī)變量的期望，莖葉圖，古典概型，是概率與統(tǒng)計(jì)的綜合應(yīng)用，難度中檔．