Question

【題目】f（x）是定義在R上的函數(shù)，且對任意的x、y都有f（x+y）=f（x）+f（y）﹣1成立．當x＞0時，f（x）＞1．
（1）若f（4）=5，求f（2）；
（2）證明：f（x）在R上是增函數(shù)；
（3）若f（4）=5，解不等式f（3m2﹣m﹣2）＜3．

Answer 1

【答案】
（1）解：f（4）=f（2）+f（2）﹣1=5，解得f（2）=3
（2）證明：任取x1，x2∈R，且x1＜x2，則x2﹣x1＞0，

∵x＞0時，f（x）＞1．

∴f（x2﹣x1）＞1

∴f（x2）=f（x2﹣x1+x1）=f（x2﹣x1）+f（x1）﹣1＞f（x1）

∴f（x2）＞f（x1），

∴f（x）是R上的增函數(shù)

（3）解：∵由不等式f（3m2﹣m﹣2）＜3，

得f（3m2﹣m﹣2）＜f（2），

由（2）知，f（x）是R上的增函數(shù)，

∴3m2﹣m﹣2＜2，

∴3m2﹣m﹣4＜0，

∴﹣1＜m＜ ，

∴不等式f（3m2﹣m﹣2）＜3的解集為（﹣1， ）

【解析】（1）f（4）=f（2）+f（2）﹣1，即可求出f（2）的值，（2）要判斷函數(shù)的增減性，就是在自變量范圍中任意取兩個x1＜x2∈R，判斷出f（x1）與f（x2）的大小即可知道增減性．（3）f（3m2﹣m﹣2）＜3，得f（3m2﹣m﹣2）＜f（2），由（2）知，f（x）是R上的增函數(shù)，得到3m2﹣m﹣2＜2，求出解集即可．
【考點精析】本題主要考查了函數(shù)單調性的性質的相關知識點，需要掌握函數(shù)的單調區(qū)間只能是其定義域的子區(qū)間 ,不能把單調性相同的區(qū)間和在一起寫成其并集才能正確解答此題．