【題目】已知數(shù)列{an},{bn}滿足:bn=an+1-an(n∈N*).
(1)若a1=1,bn=n,求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式;
(2)若bn+1bn-1=bn(n≥2),且b1=1,b2=2.
(ⅰ)記cn=a6n-1(n≥1),求證:數(shù)列{cn}為等差數(shù)列;
(ⅱ)若數(shù)列中任意一項(xiàng)的值均未在該數(shù)列中重復(fù)出現(xiàn)無數(shù)次,求首項(xiàng)a1應(yīng)滿足的條件.
【答案】(1)an=(2)(ⅰ)詳見解析(ⅱ)詳見解析
【解析】
試題分析:(1)利用疊加法求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式:an=a1+(a2-a1)+(a3-a2)+…+(an-an-1)
=a1+b1+b2+…+bn-1=(2)(ⅰ)利用定義證等差數(shù)列:cn+1-cn=
a6n+5-a6n-1為常數(shù),由bn+1bn-1=bn得{bn}為周期數(shù)列,再由bn=an+1-an得a6n+5-a6n-1=b6n-1+b6n+b6n+1+b6n+2+b6n+3+b6n+4=7(ⅱ)由(ⅰ)知數(shù)列{a6(n-1)+i}均為以7為公差的等差數(shù)列,而,因此ai=時(shí),重復(fù)出現(xiàn)無數(shù)次,因此依次類推得a1∈{,,,-,-}數(shù)列中必有某數(shù)重復(fù)出現(xiàn)無數(shù)次;當(dāng)a1B時(shí),最多出現(xiàn)一次
試題解析:解:(1)當(dāng)n≥2時(shí),有an=a1+(a2-a1)+(a3-a2)+…+(an-an-1)
=a1+b1+b2+…+bn-1=
又a1=1也滿足上式,所以數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式是an=
(2)(ⅰ)因?yàn)閷θ我獾?/span>n∈N*,有bn+6==bn,
所以cn+1-cn=a6n+5-a6n-1
=b6n-1+b6n+b6n+1+b6n+2+b6n+3+b6n+4
=1+2+2+1++=7
所以,數(shù)列{cn}為等差數(shù)列.
(ⅱ)設(shè)cn=a6(n-1)+i(n∈N*)(其中i為常數(shù)且i∈{1,2,3,4,5,6},
所以cn+1-cn=a6(n-1)+6+i-a6(n-1)+i
=b6(n-1)+i+b6(n-1)+i+1+b6(n-1)+i+2+b6(n-1)+i+3+b6(n-1)+i+4+b6(n-1)+i+5=7,
即數(shù)列{a6(n-1)+i}均為以7為公差的等差數(shù)列.
設(shè)fk=(其中n=6k+i, k≥0,
i為{1,2,3,4,5,6}中一個(gè)常數(shù))
當(dāng)ai=時(shí),對任意的n=6k+i,有;
當(dāng)ai≠時(shí),fk+1-fk=-=
①若ai>,則對任意的k∈N有fk+1<fk,所以數(shù)列{ }為遞減數(shù)列;
②若ai<,則對任意的k∈N有fk+1>fk,所以數(shù)列{}為遞增數(shù)列.
綜上所述,集合B={}∪{}∪{}∪{-}∪{-}={,,,-,-}.當(dāng)a1∈B時(shí),數(shù)列中必有某數(shù)重復(fù)出現(xiàn)無數(shù)次;當(dāng)a1B時(shí),數(shù)列{}(i=1,2,3,4,5,6)均為單調(diào)數(shù)列,任意一個(gè)數(shù)在這6個(gè)數(shù)列中最多出現(xiàn)一次,所以數(shù)列任意一項(xiàng)的值均未在該數(shù)列中重復(fù)出現(xiàn)無數(shù)次.16分
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】f(x)是定義在R上的函數(shù),且對任意的x、y都有f(x+y)=f(x)+f(y)﹣1成立.當(dāng)x>0時(shí),f(x)>1.
(1)若f(4)=5,求f(2);
(2)證明:f(x)在R上是增函數(shù);
(3)若f(4)=5,解不等式f(3m2﹣m﹣2)<3.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】隨著生活水平的提高,人們對空氣質(zhì)量的要求越來越高,某機(jī)構(gòu)為了解公眾對“車輛限行”的態(tài)度,隨機(jī)抽查人,并將調(diào)查情況進(jìn)行整理后制成下表:
年齡(歲) | |||||
頻數(shù) | |||||
贊成人數(shù) |
(1)世界聯(lián)合國衛(wèi)生組織規(guī)定: 歲為青年, 為中年,根據(jù)以上統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)填寫以下列聯(lián)表:
青年人 | 中年人 | 合計(jì) | |
不贊成 | |||
贊成 | |||
合計(jì) |
(2)判斷能否在犯錯(cuò)誤的概率不超過的前提下,認(rèn)為贊成“車柄限行”與年齡有關(guān)?
附: ,其中
獨(dú)立檢驗(yàn)臨界值表:
(3)若從年齡的被調(diào)查中各隨機(jī)選取人進(jìn)行調(diào)查,設(shè)選中的兩人中持不贊成“車輛限行”態(tài)度的人員為,求隨機(jī)變量的分布列和數(shù)學(xué)期望.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知公差不為0的等差數(shù)列{an}滿足:a1=1且a2 , a5 , a14成等比數(shù)列.
(1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式an和前n項(xiàng)和Sn;
(2)證明不等式 且n∈N*)
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在平面直角坐標(biāo)系中, 曲線的參數(shù)方程為為參數(shù)) ;在以原點(diǎn)為極點(diǎn), 軸的正半軸為極軸的極坐標(biāo)系中, 曲線的極坐標(biāo)參數(shù)方程為.
(1)求曲線的極坐標(biāo)方程和曲線的直角坐標(biāo)方程;
(2)若射線與曲線,的交點(diǎn)分別為 (異于原點(diǎn)). 當(dāng)斜率時(shí), 求的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】對某校高一年級學(xué)生參加社區(qū)服務(wù)次數(shù)進(jìn)行統(tǒng)計(jì),隨機(jī)抽取名學(xué)生作為樣本,得到這名學(xué)生參加社區(qū)服務(wù)的次數(shù).根據(jù)此數(shù)據(jù)作出了頻數(shù)與頻率的統(tǒng)計(jì)表和頻率分布直方圖如下:
分組 | 頻數(shù) | 頻率 |
10 | 0.25 | |
25 | ||
2 | 0.05 | |
合計(jì) | 1 |
(1)求出表中及圖中的值;
(2)試估計(jì)他們參加社區(qū)服務(wù)的平均次數(shù);
(3)在所取樣本中,從參加社區(qū)服務(wù)的次數(shù)不少于20次的學(xué)生中任選2人,求至少1人參加社區(qū)服務(wù)次數(shù)在區(qū)間內(nèi)的概率.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】函數(shù)f(x)=Asin(ωx+)(A,ω,是常數(shù),A>0,ω>0)的部分圖象如圖所示,下列結(jié)論: ①最小正周期為π;
②將f(x)的圖象向左平移 個(gè)單位,所得到的函數(shù)是偶函數(shù);
③f(0)=1;
④ ;
⑤ .
其中正確的是( )
A.①②③
B.②③④
C.①④⑤
D.②③⑤
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知關(guān)于x的二次函數(shù)f(x)=ax2﹣4bx+1
(Ⅰ)設(shè)集合P={1,2,3},集合Q={﹣1,1,2,3,4},從集合P中隨機(jī)取一個(gè)數(shù)作為a,從集合Q中隨機(jī)取一個(gè)數(shù)作為b,求函數(shù)f(x)在區(qū)間[1,+∞)上是增函數(shù)的概率;
(Ⅱ)設(shè)點(diǎn)(a,b)是區(qū)域 內(nèi)的隨機(jī)點(diǎn),求函數(shù)f(x)在區(qū)間[1,+∞)上是增函數(shù)的概率.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】定義在(﹣∞,0)∪(0,+∞)上的函數(shù)f(x),如果對于任意給定的等比數(shù)列{an},{f(an)}仍是等比數(shù)列,則稱f(x)為“保等比數(shù)列函數(shù)”.現(xiàn)有定義在(﹣∞,0)∪(0,+∞)上的如下函數(shù):①f(x)=x2;②f(x)=2x;③f(x)= ;④f(x)=ln|x|.則其中是“保等比數(shù)列函數(shù)”的f(x)的序號為( )
A.①②
B.③④
C.①③
D.②④
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