已知a＞0，函數(shù)f（x）=
|x-a|
x+2a
在區(qū)間[0，4]上的最大值為
7
10
，則a的值為
 
．
考點(diǎn)：函數(shù)的最值及其幾何意義
專(zhuān)題：綜合題,函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用
分析：利用絕對(duì)值的幾何意義，分類(lèi)討論，結(jié)合導(dǎo)數(shù)確定函數(shù)的單調(diào)性，從而可得函數(shù)f（x）=
|x-a|
x+2a
在區(qū)間[0，4]上的最大值，利用條件，即可求出a的值．
解答： 解：記f（x）在區(qū)間[0，4]上的最大值為g（a），
當(dāng)0≤x≤a時(shí)，f（x）=
a-x
x+2a
；當(dāng)x＞a時(shí)，f（x）=
x-a
x+2a

∴當(dāng)0≤x≤a時(shí)，f′（x）=
-3a
(x+2a)2
＜0，f（x）在（0，a）上單調(diào)遞減；
當(dāng)x＞a時(shí)，f′（x）=
3a
(x+2a)2
＞0，f（x）在（a，+∞）上單調(diào)遞增．
①若a≥4，則f（x）在（0，4）上單調(diào)遞減，g（a）=f（0）=
1
2
，不符合；
②若0＜a＜4，則f（x）在（0，a）上單調(diào)遞減，在（a，4）上單調(diào)遞增
∴g（a）=max{f（0），f（4）}
∵f（0）-f（4）=
a-1
2+a

∴當(dāng)0＜a≤1時(shí)，g（a）=f（4）=
4-a
4+2a
；當(dāng)1＜a＜4時(shí)，g（a）=f（0）=
1
2
，
∴
4-a
4+2a
=
7
10
，∴a=
1
2
．
故答案為：
1
2
．
點(diǎn)評(píng)：本題考查導(dǎo)數(shù)知識(shí)的運(yùn)用，考查分類(lèi)討論的數(shù)學(xué)思想，考查學(xué)生分析解決問(wèn)題的能力，正確分類(lèi)是關(guān)鍵．
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

第22屆索契冬奧會(huì)期間，來(lái)自俄羅斯國(guó)際奧林匹克大學(xué)的男、女大學(xué)生共9名志愿者被隨機(jī)地平均分配到速滑、冰壺、自由式滑雪這三個(gè)崗位服務(wù)，且速滑崗位至少有一名女大學(xué)生志愿者的概率是
16
21

（Ⅰ）求冰壺崗位至少有男、女大學(xué)生志愿者各一人的概率；
（Ⅱ）設(shè)隨機(jī)變量X為在自由式滑雪崗位服務(wù)的男大學(xué)生志愿者的人數(shù)，求X的分布列及期望．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

如圖，在△ABC中，∠B=
π
2
，AB=BC=2，P為AB邊上一動(dòng)點(diǎn)，PD∥BC交AC于點(diǎn)D，現(xiàn)將△PDA沿PD翻折至△PDA′，使平面PDA′⊥平面PBCD．
（Ⅰ）若點(diǎn)P為AB的中點(diǎn)，E為A′C的中點(diǎn)，求證：A′B⊥DE；
（Ⅱ）當(dāng)棱錐A′-PBCD的體積最大時(shí)，求PA的長(zhǎng)．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

設(shè)f（x）=ln（x2+1），g（x）=
1
2
x2-
1
2
．
（1）求F（x）=f（x）-g（x）的單調(diào)區(qū)間，并證明對(duì)[-1，1]上的任意x1，x2，x3，都有F（x1）+F（x2）＞F（x3）；
（2）將y=f（x）的圖象向下平移a（a＞0）個(gè)單位，同時(shí)將y=g（x）的圖象向上平移b（b＞0）個(gè)單位，使它們恰有四個(gè)交點(diǎn)，求
a+1
b+1
的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知點(diǎn)（
2
，2）在冪函數(shù)f（x）的圖象上，函數(shù)g（x）=2mx+
1
2
．
（1）求f（x）的解析式；
（2）對(duì)于在區(qū)間[a，b]上有意義的兩個(gè)函數(shù)f（x）和g（x），若對(duì)于任意的x∈[a，b]，均有|f（x）-g（x）|≤1，則稱(chēng)f（x）和g（x）在區(qū)間[a，b]上是接近的，否則稱(chēng)f（x）和g（x）在區(qū)間[a，b]上是非接近的．
①f1（x）=sinx，f2（x）=x，判斷f1（x），f2（x）在區(qū)間[-π，π]上是否接近的，若是，請(qǐng)證明，不是，舉個(gè)反例說(shuō)明；
②若f（x）和g（x）在區(qū)間[1，2]上是接近的，求m的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

定義在R上的函數(shù)f（x），其圖象是連續(xù)不斷的，如果存在非零常數(shù)λ（λ∈R），使得對(duì)任意的x∈R，都有f（x+λ）=λf（x），則稱(chēng)f（x）為“倍增函數(shù)”，λ為“倍增系數(shù)”．下列命題正確的是
 
（寫(xiě)出所有正確命題的編號(hào)）．
①函數(shù)f（x）=x是倍增函數(shù)，且倍增系數(shù)λ=1；
②函數(shù)f（x）=e-x是倍增函數(shù)，且倍增系數(shù)λ∈（0，1）；
③若函數(shù)f（x）是可導(dǎo)倍增函數(shù)，則其導(dǎo)函數(shù)f′（x）也是倍增函數(shù)；
④若函數(shù)f（x）是倍增系數(shù)λ=-1的倍增函數(shù)，則f（x）也是周期函數(shù)；
⑤若函數(shù)f（x）=cos2ωx（ω＞0）是倍增函數(shù)，則ω=
kπ
2
（k∈N*）．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

若一次函數(shù)f（x）在區(qū)間[-1，3]上是減函數(shù)，且最小值為0，最大值為2，則f（x）的解析式為
 
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

函數(shù)y=x2（-
1
2
≤x≤
1
2
）圖象上一點(diǎn)P，以點(diǎn)P為切點(diǎn)的切線為直線l，則直線l的傾斜角的范圍是
 
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

設(shè)（2x+
1
2
）11-（3x+
1
3
）11=a0+a1x+a2x2+…+a11x11，則|ak|（0≤k≤11）的最小值為
 
．

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