Question

定義在R上的函數(shù)f（x），其圖象是連續(xù)不斷的，如果存在非零常數(shù)λ（λ∈R），使得對任意的x∈R，都有f（x+λ）=λf（x），則稱f（x）為“倍增函數(shù)”，λ為“倍增系數(shù)”．下列命題正確的是

 

（寫出所有正確命題的編號）．
①函數(shù)f（x）=x是倍增函數(shù)，且倍增系數(shù)λ=1；
②函數(shù)f（x）=e^-x是倍增函數(shù)，且倍增系數(shù)λ∈（0，1）；
③若函數(shù)f（x）是可導(dǎo)倍增函數(shù)，則其導(dǎo)函數(shù)f′（x）也是倍增函數(shù)；
④若函數(shù)f（x）是倍增系數(shù)λ=-1的倍增函數(shù)，則f（x）也是周期函數(shù)；
⑤若函數(shù)f（x）=cos2ωx（ω＞0）是倍增函數(shù)，則ω=

kπ

2

（k∈N^*）．

Answer 1

考點：抽象函數(shù)及其應(yīng)用,函數(shù)的連續(xù)性

專題：新定義,函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：①根據(jù)倍增函數(shù)的定義，即可判斷；
②由倍增函數(shù)的定義，結(jié)合指數(shù)函數(shù)的值域，即可判斷；
③由倍增函數(shù)的定義，兩邊求導(dǎo)，即可判斷；
④運用倍增函數(shù)的定義，再兩次將x換成x+1，即可求出周期，可判斷；
⑤運用倍增函數(shù)的定義，然后分別令x=0，令x=

π

2

，結(jié)合兩角和的余弦公式，即可求出ω，從而判斷．

解答： 解：①∵f（x）=x，f（x+λ）=x+λ，λf（x）=λx，∴不存在λ≠0，?x∈R都有f（x+λ）=λf（x），故①錯；
②∵函數(shù)f（x）=e^-x是倍增函數(shù)，∴e^-（x+λ）=λe^-x，∴e^-λ=λ＞0，∴λ=

1

eλ

∈（0，1），故②正確；
③∵f（x）滿足?λ≠0，?x∈R，f（x+λ）=λf（x），∴f′（x+λ）=λf′（x）恒成立，故③正確；
④若函數(shù)f（x）是倍增系數(shù)λ=-1的倍增函數(shù)，則f（x-1）=-f（x），則f（x）=-f（x+1），
則f（x+2）=-f（x+1）=f（x），即函數(shù)f（x）為周期為2的函數(shù)，故④正確；
⑤∵f（x）=cos（2ωx）（ω＞0）是倍增函數(shù)，
∴cos[2ω（x+λ）]=λcos（2ωx），令x=0則cos（2ωλ）=λ，
令x=

π

2

，則cos[2ω（

π

2

+λ）]=λcos（2ω•

π

2

），化簡得sinωπsin2ωλ=0，
即有ω=k或

kπ

2

（k∈N^*）∴故⑤不正確．
故答案為：②③④．

點評：本題考查新定義：倍增函數(shù)及性質(zhì)，考查函數(shù)的周期性、值域，解題時要認(rèn)真審題，仔細(xì)解答，注意合理地進(jìn)行等價轉(zhuǎn)化．