Question

已知點D（0，

3

），點P在圓C：x²+（y+

3

）²=16上，點，M在DP上，點N在CP上，且DM=MP．MN⊥DP．
（1）求點N的軌跡E的方程；
（2）是否存在點T（0，t），使過點T作圓O：x²+y²=1的切線l交曲線E與A、B兩點，△AOB面積S取得最大值，若存在，求出S的最大值和相應的點T的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

考點：軌跡方程,直線與圓的位置關(guān)系

專題：計算題,圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：（1）由題意，NP=ND，NC+ND=CP=4，可得點N的軌跡E是以D，C為焦點的橢圓，且a=2，c=

3

，即可得到點M的軌跡方程；
（2）由過點T（0，t）作圓x²+y²=1的切線l交曲線C于A，B兩點，得到|t|大于等于圓的半徑1，分兩種情況考慮：（i）當t=1時，確定出切線l為x=1，將x=1代入M得軌跡方程中，求出A和B的坐標，確定出此時|AB|的長，當t=-1時，同理得到|AB|的長；（ii）當|t|大于1時，設切線l方程為y=kx+t，將切線l的方程與圓方程聯(lián)立，消去y得到關(guān)于x的一元二次方程，設A和B的坐標，利用根與系數(shù)的關(guān)系表示出兩點橫坐標之和與之積，再由切線l與圓相切，得到圓心到切線的距離d=r，利用點到直線的距離公式列出關(guān)系式，整理后得到k與t的關(guān)系式，然后利用兩點間的距離公式表示出|AB|，將表示出的兩根之和與兩根之積，以及k與t的關(guān)系式代入，得到關(guān)于t的關(guān)系，利用基本不等式變形，得到|AB|的最大值，以及此時t的取值，而三角形AOB的面積等于AB與半徑r乘積的一半來求，表示出三角形AOB的面積，將|AB|的最大值代入求出三角形AOB面積的最大值，以及此時T的坐標即可．

解答： 解：（1）由題意，NP=ND，
∴NC+ND=CP=4，
∵點D（0，

3

），C（0，-

3

），
∴點N的軌跡E是以D，C為焦點的橢圓，且a=2，c=

3

，
∴b=1，
∴軌跡E的方程為x2+

y2

4

=1；
（2）由題意知，|t|≥1，
（i）當t=1時，切線l的方程為y=1，點A、B的坐標分別為（-

3

2

，1），（

3

2

，1），
此時|AB|=

3

，當t=-1時，同理可得|AB|=

3

；
（ii）當|t|＞1時，設切線l的方程為y=kx+t，k∈R，
代入橢圓方程，得（4+k²）x²+2ktx+t²-4=0③，
設A、B兩點的坐標分別為（x₁，y₁），（x₂，y₂），
由③得：x₁+x₂=-

2kt

4+k2

，x₁x₂=

t2-4

4+k2

，
又直線l與圓x²+y²=1相切，得

|t|

k2+1

=1，即t²=k²+1，
∴|AB|=

4 3 |t|

t2+3

，
又|AB|=

4 3 |t|

t2+3

=

4 3

|t|+ 3 |t|

≤2，且當t=±

3

時，|AB|=2，
綜上，|AB|的最大值為2，
依題意，圓心O到直線AB的距離為圓x²+y²=1的半徑，
∴△AOB面積S=

1

2

|AB|×1≤1，
當且僅當t=±

3

時，△AOB面積S的最大值為1，相應的T的坐標為（0，-

3

）或（0，

3

）．

點評：此題考查了直線與圓相交的性質(zhì)，以及動點的軌跡方程，涉及的知識有：直線與圓的交點，一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，兩點間的距離公式，點到直線的距離公式，基本不等式的運用，以及直線與圓相切時，圓心到直線的距離等于圓的半徑的性質(zhì)，利用了轉(zhuǎn)化及分類討論的思想，是一道綜合性較強的試題．