Question

已知函數(shù)f（x）=lnx+

a

x+1

．
（1）當a=2時，證明對任意的x∈（1，+∞），f（x）＞1；
（2）求證：ln（n+1）＞

1

3

+

1

5

+

1

7

+…+

1

2n+1

（n∈N^*）．
（3）若函數(shù)f（x）有且只有一個零點，求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

考點：導(dǎo)數(shù)在最大值、最小值問題中的應(yīng)用,利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性

專題：綜合題,導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（1）令h（x）=lnx+

2

x+1

-1，求導(dǎo)數(shù)，可得h（x）在（1，+∞）上單調(diào)遞增，即可得證；
（2）由（1）知x∈（1，+∞），lnx＞

x-1

x+1

，令x=

k+1

k

，則ln

k+1

k

＞

1

2k+1

，利用累加，即可得出結(jié)論；
（3）求導(dǎo)數(shù)，分類討論，確定函數(shù)的單調(diào)性，即可確定函數(shù)f（x）有且只有一個零點，實數(shù)a的取值范圍．

解答： （1）證明：當a=2時，f（x）=lnx+

2

x+1

，
令h（x）=lnx+

2

x+1

-1，則h′(x)=

x2+1

x(x+1)2

＞0
∴h（x）在（1，+∞）上單調(diào)遞增，
∴h（x）＞h（1）=0，
∴對任意的x∈（1，+∞），f（x）＞1；
（2）證明：由（1）知x∈（1，+∞），lnx+

2

x+1

＞1，
即lnx＞

x-1

x+1

，
令x=

k+1

k

，則ln

k+1

k

＞

1

2k+1

，∴

n

i=1

ln

k+1

k

＞

n

i=1

1

2k+1

，
∴l(xiāng)n（n+1）=

n

i=1

ln

k+1

k

＞

1

3

+

1

5

+

1

7

+…+

1

2n+1

；
（3）解：f′（x）=

x2-(a-2)x+1

x(x+1)2

．
令f′（x）=0，則x²-（a-2）x+1=0，△=（a-2）²-4=a（a-4）．
①0≤a≤4時，f′（x）≥0，函數(shù)在（0，+∞）上遞增，函數(shù)只有一個零點；
②a＜0時，f′（x）＞0，函數(shù)在（0，+∞）上遞增，函數(shù)只有一個零點；
③當a＞4時，△＞0，設(shè)f'（x）=0的兩根分別為x₁與x₂，
則x₁+x₂=a-2＞0，x₁•x₂=1＞0，不妨設(shè)0＜x₁＜1＜x₂
當x∈（0，x₁）及x∈（x₂，+∞）時，f'（x）＞0，當x∈（x₁，x₂）時，f'（x）＜0，
∴函數(shù)f（x）在（0，x₁），（x₂，+∞）上遞增，在（x₁，x₂）上遞減，
而f(x2)=lnx2+

a

x2+1

＞0
∴x∈（x₁，+∞）時，f（x）＞0，且f（x₁）＞0
因此函數(shù)f（x）在（0，x₁）有一個零點，而在（x₁，+∞）上無零點；
此時函數(shù)f（x）只有一個零點；
綜上，函數(shù)f（x）只有一個零點時，實數(shù)a的取值范圍為R．…（14分）

點評：本題考查導(dǎo)數(shù)知識的運用，考查函數(shù)的單調(diào)性，考查不等式的證明，考查分類討論的數(shù)學思想，屬于難題．