Question

已知命題p：對任意的區(qū)間[1，2]內(nèi)的實數(shù)x，x²-a≥0恒成立；命題q：方程x²+2ax+2-a=0有實根．若命題p，q都是真命題，求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

考點：命題的真假判斷與應(yīng)用

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用,簡易邏輯

分析：令f（x）=x²，利用等價轉(zhuǎn)化思想可知a≤f（x）_min，易求f（x）_min=1，從而可求命題p為真命題時a的取值范圍；同理可求得命題q是真命題時a的取值范圍，利用p∧q為真，即可求得答案．

解答： 解：命題p：∵?x∈[1，2]，x²-a≥0恒成立，令f（x）=x²，
則a≤f（x）_min；
∵f（x）=x²在區(qū)間[1，2]上單調(diào)遞增，
∴f（x）_min=f（1）=1，
∴a≤1；
命題q：∵方程x²+2ax+2-a=0有實根，
∴△=（2a）²-4×1×（2-a）≥0，
整理得：a²+a-2≥0，
解得：a≥1或a≤-2；
∵命題p，q都是真命題，
∴a=1或a≤-2；
即實數(shù)a的取值范圍為{a|a=1或a≤-2}．

點評：本題考查命題的真假判斷與應(yīng)用，考查函數(shù)恒成立問題，突出等價轉(zhuǎn)化思想與運算求解能力的考查，屬于中檔題．