【題目】設(shè)函數(shù)fk(x)=xk+bx+c(k∈N* , b,c∈R),g(x)=logax(a>0,a≠1).
(1)若b+c=1,且fk(1)=g( ),求a的值;
(2)若k=2,記函數(shù)fk(x)在[﹣1,1]上的最大值為M,最小值為m,求M﹣m≤4時(shí)的b的取值范圍;
(3)判斷是否存在大于1的實(shí)數(shù)a,使得對(duì)任意x1∈[a,2a],都有x2∈[a,a2]滿足等式:g(x1)+g(x2)=p,且滿足該等式的常數(shù)p的取值唯一?若存在,求出所有符合條件的a的值;若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.
【答案】
(1)解:∵b+c=1,且f(1)=g( ),∴1+b+c= ,∴a=
(2)解:k=2時(shí),f(x)=x2+bx+c,所以
當(dāng)對(duì)稱軸x=﹣ ≤﹣1,即b≥2時(shí),M=f(1)=1+b+c,m=f(﹣1)=1﹣b+c,M﹣m=2b≤4,解得b≤2,∴b=2.
當(dāng)對(duì)稱軸﹣1<﹣ ≤0,即0≤b<2時(shí),M=f(1)=1+b+c,m=f(﹣ )=c﹣ ,M﹣m=b+1+ ≤4,解得﹣6≤b≤2,∴0≤b<2.
當(dāng)對(duì)稱軸0<﹣ <1,即﹣2≤b<0時(shí),M=f(﹣1)=1﹣b+c,m=f(﹣ )=c﹣ ,M﹣m=1﹣b+ ≤4,解得﹣2≤b≤6,∴﹣2<b<0.
當(dāng)對(duì)稱軸﹣ ≥1,即b≤﹣2時(shí),M=f(﹣1)=1﹣b+c,m=f(1)=1+b+c,M﹣m=﹣2b≤4,解得b≥﹣2,∴b=﹣2.
綜上所述:b的取值范圍是﹣2≤b≤2
(3)解:將等式g(x1)+g(x2)=p變形得g(x1)=p﹣g(x2),由任意實(shí)數(shù)x1∈[a,2a],都有x2∈[a,a2]得到[logaa,loga(2a)][p﹣ ,p﹣logaa],
即[1,1+loga2][p﹣2,p﹣1],
∴ ,解得2+loga2=3,∴a=2
【解析】(1)代入得到關(guān)于a的方程解之;(2)k=2,說(shuō)明函數(shù)是二次函數(shù),討論對(duì)稱軸x=﹣ 與區(qū)間的位置關(guān)系,確定最值,得到關(guān)于b的方程,解之;(3)將等式g(x1)g(x2)=p變形得g(x1)=p﹣g(x2),由x1 , x2的范圍,得到g(x1)、g(x2)的范圍,利用對(duì)任意實(shí)數(shù)x1∈[a,2a],
都有x2∈[a,a2]得到[logaa,loga(2a)][p﹣ ,p﹣logaa]解得即可.
【考點(diǎn)精析】利用利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性和函數(shù)的最大(小)值與導(dǎo)數(shù)對(duì)題目進(jìn)行判斷即可得到答案,需要熟知一般的,函數(shù)的單調(diào)性與其導(dǎo)數(shù)的正負(fù)有如下關(guān)系: 在某個(gè)區(qū)間內(nèi),(1)如果,那么函數(shù)在這個(gè)區(qū)間單調(diào)遞增;(2)如果,那么函數(shù)在這個(gè)區(qū)間單調(diào)遞減;求函數(shù)在上的最大值與最小值的步驟:(1)求函數(shù)在內(nèi)的極值;(2)將函數(shù)的各極值與端點(diǎn)處的函數(shù)值,比較,其中最大的是一個(gè)最大值,最小的是最小值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知橢圓與拋物線共焦點(diǎn),拋物線上的點(diǎn)M到y軸的距離等于,且橢圓與拋物線的交點(diǎn)Q滿足.
(I)求拋物線的方程和橢圓的方程;
(II)過(guò)拋物線上的點(diǎn)作拋物線的切線交橢圓于、 兩點(diǎn),設(shè)線段AB的中點(diǎn)為,求的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】分別求適合下列條件的標(biāo)準(zhǔn)方程:
(1)實(shí)軸長(zhǎng)為12,離心率為,焦點(diǎn)在x軸上的橢圓;
(2)頂點(diǎn)間的距離為6,漸近線方程為的雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程。
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知函數(shù)f(x),當(dāng)x,y∈R時(shí),恒有f(x+y)=f(x)+f(y).當(dāng)x>0時(shí),f(x)>0
(1)求證:f(x)是奇函數(shù);
(2)若f(1)= ,試求f(x)在區(qū)間[﹣2,6]上的最值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,直角三角形中, , , , 為線段上一點(diǎn),且,沿邊上的中線將折起到的位置.
(Ⅰ)求證: ;
(Ⅱ)當(dāng)平面平面時(shí),求二面角的余弦值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】設(shè)函數(shù).
(1)若是函數(shù)的極值點(diǎn),1為函數(shù)的一個(gè)零點(diǎn),求函數(shù)在上的最小值.
(2)當(dāng)時(shí),函數(shù)與軸在內(nèi)有兩個(gè)不同的交點(diǎn),求的取值范圍.(其中是自然對(duì)數(shù)的底數(shù))
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知數(shù)列的前項(xiàng)和為,.
(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式;
(2)設(shè),=,記數(shù)列的前項(xiàng)和.若對(duì), 恒成立,求實(shí)數(shù)的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知在函數(shù)()的所有切線中,有且僅有一條切線與直線垂直.
(1)求的值和切線的方程;
(2)設(shè)曲線在任一點(diǎn)處的切線傾斜角為,求的取值范圍.
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