Question

某青少年研究中心為了統(tǒng)計某市青少年（18歲以下）2014年春節(jié)所收壓歲錢的情況進而研究青少年的消費去向，隨機抽查了該市60名青少年所收壓歲錢的情況，得到如下數(shù)據(jù)統(tǒng)計表：

壓歲錢（單位：千元）	頻數(shù)	頻率
（0，0.5]	3	0.05
（0.5，1]	x	p
（1，1.5]	9	0.15
（1.5，2]	15	0.25
（2，2.5]	18	0.30
（2.5，3]	y	q
合計	60	1.00

已知“超過2千元的青少年”與“不超過2千元的青少年”人數(shù)比恰好為2：3．
（Ⅰ）試確定x，y，p，q的值，并補全頻率分布直方圖（如圖）．
（Ⅱ）該機構為了進一步了解這60名青少年壓歲錢的消費去向，從“超過2千元的青少年”、“不超過2千元的青少年”中用分層抽樣的方法確定10人，若需從這10人中隨機選取3人進行問卷調(diào)查．設為選取的3人中“超過2千元的青少年”的人數(shù)，求的分布列和數(shù)學期望．
（Ⅲ）若以頻率估計概率，從該市青少年中隨機抽取15人進行座談，若15人中“超過2千元的青少年”的人數(shù)為η，求η的期望．

Answer 1

考點：離散型隨機變量的期望與方差,分層抽樣方法

專題：概率與統(tǒng)計

分析：（Ⅰ）根據(jù)題意，有

3+x+9+15+18+y=60 18+y 3+x+9+15 = 2 3

，由此能確定x，y，p，q的值，并補全頻率分布直方圖．（Ⅱ）用分層抽樣的方法，從中選取10人，其中“超過2千元的青少年”有4人，“不超過2千元的青少年”有6人，ξ的可能取值為0，1，2，3，分別求出相應的概率，由此能示出ξ的分布列和Eξ．
（Ⅲ）以頻率估計概率，從該市青少年中隨機抽取1人為“超過2千元的青少年”的概率為

2

5

，由η～B（15，

2

5

），能求出隨機變量η的期望．

解答： 解：（Ⅰ）根據(jù)題意，有：

3+x+9+15+18+y=60 18+y 3+x+9+15 = 2 3

，
解得x=9，y=6，
∴p=0.15，q=0.10．
補全頻率分布直方圖如圖所示．
（Ⅱ）用分層抽樣的方法，從中選取10人，
則其中“超過2千元的青少年”有10×

2

5

=4人，
“不超過2千元的青少年”有10×

3

5

=6人，
∴ξ的可能取值為0，1，2，3，
P（ξ=0）=

C 0 4 C 3 6

C 3 10

=

1

6

，
P（ξ=1）=

C 1 4 C 2 6

C 3 10

=

1

2

，
P（ξ=2）=

C 2 4 C 1 6

C 3 10

=

3

10

，
P（ξ=3）=

C 3 4 C 0 6

C 3 10

=

1

30

，
∴ξ的分布列為：

ξ	0	1	2	3
p	1 6	1 2	3 10	1 30

Eξ=0×

1

6

+1×

1

2

+2×

3

10

+3×

1

30

=

6

5

．
（Ⅲ）以頻率估計概率，
從該市青少年中隨機抽取1人為“超過2千元的青少年”的概率為

2

5

，
則η～B（15，

2

5

），
∴隨機變量η的期望為Eη=15×

2

5

=6．

點評：本題考查概率的求法，考查離散型隨機變量的分布列和數(shù)學期望的求法，解題時要認真審題，是中檔題．