Question

已知橢圓

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）離心率為

1

2

，短軸長為2，直線l：y=x+m，
（1）求橢圓的標準方程；
（2）當直線l與橢圓有公共點時，求實數(shù)m的取值范圍；
（3）若直線l過橢圓右焦點，并與橢圓交于A、B兩點，求弦AB之長．

Answer 1

考點：直線與圓錐曲線的綜合問題

專題：圓錐曲線中的最值與范圍問題

分析：（1）由已知得

c a = 1 2 2b=2 a2=b2+c2

，由此能求出橢圓的標準方程．
（2）聯(lián)立

y=x+m 3x2 4 +y2=1

，得7x²+8mx+4m²-4=0，由直線l與橢圓有公共點，得△=64m²-28（4m²-4）≥0，由此能求出實數(shù)m的取值范圍．
（3）聯(lián)立

y=x- 3 3 3x2 4 +y2=1

，得7x²-

8 3

3

x-

8

3

=0，由此能求出|AB|．

解答： 解：（1）∵橢圓

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）離心率為

1

2

，短軸長為2，
∴

c a = 1 2 2b=2 a2=b2+c2

，解得a2=

4

3

，b²=1，
∴橢圓的標準方程為

x2

4 3

+y2=1．
（2）聯(lián)立

y=x+m 3x2 4 +y2=1

，得7x²+8mx+4m²-4=0，
∵直線l與橢圓有公共點，
∴△=64m²-28（4m²-4）≥0，
解得-

21

3

＜m＜

21

3

．
∴實數(shù)m的取值范圍是（-

21

3

，

21

3

）．
（3）∵直線l：y=x+m過橢圓右焦點F₂（

3

3

，0），
∴m=-

3

3

，y=x-

3

3

，
聯(lián)立

y=x- 3 3 3x2 4 +y2=1

，得7x²-

8 3

3

x-

8

3

=0，
設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則x₁+x₂=

8 3

21

，x₁x₂=-

8

21

，
∴|AB|=

(1+1)[( 8 3 21 )2+ 32 21 ]

=

8 3

7

．

點評：本題考查橢圓方程的求法，考查實數(shù)的取值范圍的求法，考查弦長的求法，解題時要認真審題，注意橢圓性質(zhì)的合理運用．