Question

10．?dāng)?shù)列{a_n}滿足a_n+1=a_n+1，且2a₁，a₃+1，a₈成等比數(shù)列．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項公式；
（2）當(dāng)a₁＞0時，記b_n=n•2${\;}^{{a}_{n}}$，求數(shù)列{b_n}的前n項和S_n．

Answer 1

分析 （1）由等差數(shù)列的通項公式和等比數(shù)列的性質(zhì)，可得首項為1或-9，即可得到所求通項；
（2）求得b_n=n•2ⁿ，運用錯位相減法，結(jié)合等比數(shù)列的求和公式，計算即可得到．

解答 解：（1）由a_n+1=a_n+1，知數(shù)列{a_n}是公差為1的等差數(shù)列，
所以a₃+1=a₁+3，a₈=a₁+7，
依題意知（a₁+3）²=2a₁（a₁+7），即a₁²+8a₁-9=0，
解得a₁=1或a₁=-9，
當(dāng)a₁=1時，a_n=n；
當(dāng)a₁=-9時，a_n=-10+n；
（2）由（1）知a_n=n，所以b_n=n•2ⁿ，
S_n=2+2•2²+3•2³+…+n•2ⁿ①
2S_n=4+2•2³+3•2⁴+…+n•2ⁿ⁺¹②
①-②得-S_n=2+2²+2³+…+2ⁿ-n•2ⁿ⁺¹
=$\frac{2（1-{2}^{n}）}{1-2}$-n•2ⁿ⁺¹=（1-n）•2ⁿ⁺¹-2，
所以S_n=（n-1）•2ⁿ⁺¹+2．

點評 本題考查等差數(shù)列和等比數(shù)列的通項和求和公式的運用，考查數(shù)列的求和方法：錯位相減法，考查運算能力，屬于中檔題．