Question

設(shè)△ABC的內(nèi)角A，B，C所對的邊長分別為a，b，c，且acosB-bcosA=

3

5

c
（Ⅰ）求

tanA

tanB

；
（Ⅱ）當(dāng)tan（A-B）=

3

4

時，求sinC．

Answer 1

考點：正弦定理,同角三角函數(shù)間的基本關(guān)系,兩角和與差的正切函數(shù)

專題：計算題,解三角形

分析：（Ⅰ）利用正弦定理化邊為角，整理后兩邊同除以cosAcosB可得結(jié)論；
（Ⅱ）tan（A-B）=

3

4

可化為

tanA-tanB

1+tanAtanB

=

3

4

，與tanA=4tanB聯(lián)立可求tanA，tanB，可判斷tanC不存在，可得C=90°．

解答： 解：（Ⅰ）acosB-bcosA=

3

5

c，
由正弦定理，得sinAcosB-sinBcosA=

3

5

sinC=

3

5

sin（A+B）=

3

5

（sinAcosB+cosAsinB），
整理得sinAcosB=4cosAsinB，
兩邊同除以cosAcosB，得tanA=4tanB，
故

tanA

tanB

=4；    
（Ⅱ）tan（A-B）=

3

4

，即

tanA-tanB

1+tanAtanB

=

3

4

，
又tanA=4tanB，代入上式得

3tanB

1+4tan2B

=

3

4

，
解得tanB=-

1

2

，tanA=-2，
tanC=-tan（A+B）=-

tanA+tanB

1-tanAtanB

不存在，
則C=90°，
∴sinC=1．

點評：該題考查正弦定理、同角三角函數(shù)的關(guān)系以及兩角和與差的正切函數(shù)，考查學(xué)生靈活運用公式的能力．