Question

11．O是坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)A（-1，1），點(diǎn)P（x，y）為平面區(qū)域$\left\{\begin{array}{l}{x≥0}\\{2x-y≤0}\\{y≤kx+1}\end{array}\right.$的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，函數(shù)f（λ）=|$\overrightarrow{OP}$-λ$\overrightarrow{OA}$|（λ∈R）的最小值為M，若M≤$\frac{3}{2}$$\sqrt{2}$恒成立，則k的取值范圍是（　　）

• A． k≤1
• B． -1≤k≤1
• C． 0≤k≤3
• D． k≤1或≥3

Answer 1

分析 畫出滿足條件的可行域，分析出函數(shù)f（λ）的最小值為M≤$\frac{3}{2}$$\sqrt{2}$恒成立表示可行域內(nèi)的點(diǎn)到直線OA：x+y=0的最大距離不大于$\frac{3}{2}$$\sqrt{2}$，結(jié)合可行域的圖象，分類討論，可得答案．

解答 解：滿足約束條件$\left\{\begin{array}{l}x≥0\\ 2x-y≤0\\ y≤kx+1\end{array}\right.$的可行域如下圖所示：

函數(shù)f（λ）=|$\overrightarrow{OP}$-λ$\overrightarrow{OA}$|（λ∈R）表示P點(diǎn)到直線OA上一點(diǎn)的距離，
若函數(shù)f（λ）的最小值為M≤$\frac{3}{2}$$\sqrt{2}$恒成立，
則僅需可行域內(nèi)的點(diǎn)到直線OA：x+y=0的最大距離不大于$\frac{3}{2}$$\sqrt{2}$即可，
若k≥2，則不存在滿足條件的點(diǎn)，
若k＜2，則存在B點(diǎn)（$\frac{1}{2-k}$，$\frac{2}{2-k}$）到直線OA：x+y=0的距離最遠(yuǎn)，
此時(shí)d=$\frac{\left|\frac{3}{2-k}\right|}{\sqrt{2}}$≤$\frac{3}{2}$$\sqrt{2}$，
解得：k≤1，
故選：A

點(diǎn)評 本題考查了簡單的線性規(guī)劃，考查了數(shù)形結(jié)合的解題思想方法及分類討論的數(shù)學(xué)思想方法，關(guān)鍵是對題意的理解，是難題．