Question

2．已知橢圓E的中心在原點，焦點在x軸上，焦距為2$\sqrt{2}$，左頂點和上、下頂點連接成的三角形為正三角形．
（1）求橢圓E的方程：
（2）若對于點M（m，0），存在x軸上的另外-點N，使得過點N的任意直線l，當l與橢圓E交于相異兩點P，Q時．$\overrightarrow{MP}•\overrightarrow{MQ}$為定值．求實數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）求出幾何量，即可求橢圓E的方程；
（2）分類討論，設l的方程y=k（x-n），代入橢圓方程，利用韋達定理，結合向量的數(shù)量積公式，可得結論．

解答 解：（1）由題意可得c=$\sqrt{2}$，
∵左頂點和上、下頂點連接成的三角形為正三角形，
∴2b=$\sqrt{{a}^{2}+^{2}}$，結合a²=b²+c²=b²+2可解得b²=1，
∴a²=b²+2=3，橢圓E的方程為$\frac{{x}^{2}}{3}$+y²=1；
（2）存在x軸上的另外-點N（n，0），
當直線l的斜率存在時，設l的方程為y=k（x-n），
代入橢圓方程得（3k²+1）x²-6nk²x+3n²k²-3=0，
設直線l與橢圓E交點P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），
則x₁+x₂=$\frac{6n{k}^{2}}{3{k}^{2}+1}$，x₁x₂=$\frac{3{n}^{2}{k}^{2}-3}{3{k}^{2}+1}$，
∴$\overrightarrow{MP}•\overrightarrow{MQ}$=m²-（m+k²n）（x₁+x₂）+（k²+1）x₁x₂+k²n²=m²-$\frac{{k}^{2}（4{n}^{2}+3-6mn）-3}{3{k}^{2}+1}$
∴4n²+3-6mn=-9，$\overrightarrow{MP}•\overrightarrow{MQ}$=m²+3
當直線l的斜率不存在時，直線l的方程為x=n，代入橢圓方程可得P（n，$\sqrt{1-\frac{{n}^{2}}{3}}$），Q（n，-$\sqrt{1-\frac{{n}^{2}}{3}}$），
∴4n²+3-6mn=-9，$\overrightarrow{MP}•\overrightarrow{MQ}$=m²+3
∴m=$\frac{2}{3}$（n+$\frac{3}{n}$）∈（-∞，-$\frac{4\sqrt{3}}{3}$）∪（$\frac{4\sqrt{3}}{3}$，+∞）．

點評 本題考查橢圓方程，考查直線與橢圓的位置關系，考查向量知識的運用，考查韋達定理，有難度．