Question

如圖所示，已知△ABC是等邊三角形，EC⊥平面ABC，BD⊥平面ABC，且EC、DB在平面ABC的同側(cè)，M為EA的中點(diǎn)，CE=2BD．
（Ⅰ）求證：MD∥面ABC；
（Ⅱ）求證：平面DEA⊥平面ECA．

Answer 1

考點(diǎn)：平面與平面垂直的判定,直線(xiàn)與平面平行的判定

專(zhuān)題：空間位置關(guān)系與距離

分析：（Ⅰ）取AC中點(diǎn)N，連結(jié)MN、BN，由已知條件推導(dǎo)出四邊形MNBD是平行四邊形，由此能證明MD∥面ABC．
（Ⅱ）由已知條件推導(dǎo)出平面AEC⊥平面ABC，從而得到BN⊥平面ECA，由此能證明平面DEA⊥平面ECA．

解答： （本小題滿(mǎn)分12分）
（Ⅰ）證明：如圖，取AC中點(diǎn)N，連結(jié)MN、BN，
∵EC⊥平面ABC，BD⊥平面ABC，∴EC∥BD．…（2分）
△ECA中，M、N分別是EA、CA中點(diǎn)，∴MN∥EC，
且MN=

1

2

EC．又∵EC=2BD，∴MN∥BD且MN=BD．
∴四邊形MNBD是平行四邊形．…（4分）
∴MD∥BN．，又MD?面ABC，BN?面ABC，
∴MD∥面ABC；…（6分）
（Ⅱ）證明：∵正三角形ABC中，N是AC中點(diǎn)，
∴BN⊥AC．…（8分）
又∵EC⊥平面ABC，平面AEC⊥平面ABC，
且交線(xiàn)為AC，BN?面ABC，∴BN⊥平面ECA．…（10分）
而MD∥BN．∴MD⊥平面ECA，
∵M(jìn)D⊆面AED，∴平面DEA⊥平面ECA．…（12分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查直線(xiàn)與平面平行的證明，考查平面與平面垂直的證明，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意空間思維能力的培養(yǎng)．