Question

為了宣傳“低碳生活”，來自五個不同生活小區(qū)的5名志愿者利用周末休息時間到這五個小區(qū)進行演講．每個志愿者隨機地選擇去一個生活小區(qū)，且每個生活小區(qū)只去一個人．
（1）求甲恰好去自己生活小區(qū)宣傳的概率；
（2）求甲、乙都沒有去自己生活小區(qū)宣傳的概率；
（3）記五人中恰好去自己生活小區(qū)宣傳的人數(shù)為X，求隨機變量X的分布列和數(shù)學期望E（X）．

Answer 1

考點：離散型隨機變量的期望與方差,互斥事件的概率加法公式,相互獨立事件的概率乘法公式

專題：概率與統(tǒng)計

分析：（1）利用豐典概型概率計算公式能求出甲恰好去自己生活小區(qū)宣傳的概率．
（2）五個人分到五小區(qū)共有

A

5 5

=120種排法．甲、乙都沒有去自己生活小區(qū)的排法共有

A

5 5

-2

A

4 4

+

A

3 3

=78種，由此能求出甲、乙都沒有去自己生活小區(qū)宣傳的概率．
（3）離散型隨機變量X的可能取值為0，1，2，3，5，分別求出相應的概率，由此能求出隨機變量X的分布列和數(shù)學期望E（X）．

解答： 解：（1）記事件A為“甲恰好去自己生活小區(qū)宣傳”，P（A）=

1

5

．
（2）五個人分到五小區(qū)共有

A

5 5

=120種排法．
甲、乙都沒有去自己生活小區(qū)的排法共有

A

5 5

-2

A

4 4

+

A

3 3

=78種，
∴甲、乙都沒有去自己生活小區(qū)宣傳的概率P=

78

120

=

39

60

．
（3）離散型隨機變量X的可能取值為0，1，2，3，5，
P（X=1）=

C 1 5 ×9

A 5 5

=

3

8

，
P（X=2）=

C 2 5 ×2

A 5 5

=

1

6

，
P（X=3）=

C 3 5 ×1

A 5 5

=

1

12

，
P（X=5）=

1

A 5 5

=

1

120

，
P（X=0）=1-

3

8

-

1

6

-

1

12

-

1

120

=

11

30

．
∴離散型隨機變量X的分布列為

X	0	1	2	3	5
P	11 30	3 8	1 6	1 12	1 120

數(shù)學期望E（X）=

3

8

+

2

6

+

3

12

+

5

120

=1．

點評：本題考查概率的求法，考查離散型隨機變量的分布列和數(shù)學期望的求法，是中檔題．