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【題目】已知函數.

（1）判斷函數在上的單調性，并證明；

（2）若恒成立，求的最小值；

（3）記，求集合中正整數的個數；

【答案】（1）單調遞增，證明見解析（2）4（3）見解析

【解析】

（1）去掉絕對值符號后由二次函數性質可得，并按定義證明；

（2）直接代入解析式．不等式為二次不等式，由一元二次不等式恒成立可得；

（3）求出和，利用二項式定理確定除以3所得余數，從而可確定怎樣計算上正整數個數．

（1）在單調遞增

證明：任取

∵，∴，

又，則

則，則單調遞增.

（2）由恒成立可得

恒成立，且

∴恒成立，

∴，解得：

所以，的最小值為4.

（3），

則時，區(qū)間為，正整數個數為0，

時，∵

為偶數時，；

為奇數時，；

而同奇偶，同奇偶

①為偶數時，正整數個數為：

②為奇數時（）

正整數個數為：.

練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】已知函數．

（1）當時，若函數在，（）處導數相等，證明：；

（2）是否存在，使直線是曲線的切線，也是曲線的切線，而且這樣的直線是唯一的，如果存在，求出直線方程，如果不存在，請說明理由．

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科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】已知雙曲線：（，）的左、右焦點分別為，，過點且斜率為的直線交雙曲線于，兩點，線段的垂直平分線恰過點，則該雙曲線的離心率為（ ）

A.B.C.D.

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科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】已知中心在原點，焦點在軸上，離心率為的橢圓過點

（1）求橢圓的方程；

（2）設不過原點的直線與該橢圓交于兩點，滿足直線的斜率依次成等比數列，求面積的取值范圍．

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科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】在棱長為1的正方體中，E，F分別為線段CD和上的動點，且滿足，則四邊形所圍成的圖形（如圖所示陰影部分）分別在該正方體有公共頂點的三個面上的正投影的面積之和（　�。�

A. 有最小值B. 有最大值C. 為定值3D. 為定值2

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科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】已知橢圓的離心率，一個長軸頂點在直線上，若直線與橢圓交于，兩點，為坐標原點，直線的斜率為，直線的斜率為.

（1）求該橢圓的方程.

（2）若，試問的面積是否為定值？若是，求出這個定值；若不是，請說明理由.

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科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】已知橢圓的一個焦點為，左右頂點分別為.經過點的直線與橢圓交于兩點.

（1）求橢圓方程及離心率.

（2）當直線的傾斜角為時，求線段的長；

（3）記的面積分別為和，求最大值.

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科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】已知橢圓的右焦點為F，點B是橢圓C的短軸的一個端點，ΔOFB的面積為，橢圓C上的兩點H、G關于原點O對稱，且、的等差中項為2

（1）求橢圓的方程；

（2）是否存在過點M（2，1）的直線與橢圓C交于不同的兩點P、Q，且使得成立？若存在，試求出直線的方程；若不存在，請說明理由

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科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】在直角坐標系中，以坐標原點為極點，軸正半軸為極軸建立極坐標系，曲線的極坐標方程為．

（1）為曲線上的動點，點在線段上，且滿足，求點的軌跡的直角坐標方程；

（2）設點的極坐標為，點在曲線上，求面積的最大值．

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