Question

【題目】設(shè)函數(shù)f（x）=lnx+ ，m∈R
（1）當(dāng)m=e（e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）時(shí)，求f（x）的最小值；
（2）討論函數(shù)g（x）=f′（x）﹣ 零點(diǎn)的個(gè)數(shù)；
（3）（理科）若對(duì)任意b＞a＞0， ＜1恒成立，求m的取值范圍．

Answer 1

【答案】
（1）解：當(dāng)m=e時(shí)， ，x＞0，

解f′（x）＞0，得x＞e，

∴f（x）單調(diào)遞增；

同理，當(dāng)0＜x＜e時(shí)，f′（x）＜0，f（x）單調(diào)遞減，

∴f（x）只有極小值f（e），

且f（e）=lne+ =2，

∴f（x）的極小值為2

（2）解：∵g（x）= = =0，

∴m= ，

令h（x）=x﹣ ，x＞0，m∈R，

則h（1）= ，h′（x）=1﹣x2=（1+x）（1﹣x），

令h′（x）＞0，解得0＜x＜1，

∴h（x）在區(qū)間（0，1）上單調(diào)遞增，值域?yàn)椋?， ）；

同理，令h′（x）＜0，解得x＞1，

∴g（x）要區(qū)是（1，+∞）上單調(diào)遞減，值域?yàn)椋ī仭蓿? ）．

∴當(dāng)m≤0，或m= 時(shí)，g（x）只有一個(gè)零點(diǎn)；

當(dāng)0＜m＜ 時(shí)，g（x）有2個(gè)零點(diǎn)；

當(dāng)m＞ 時(shí)，g（x）沒(méi)有零點(diǎn)

（3）解：（理）對(duì)任意b＞a＞0， ＜1恒成立，

等價(jià)于f（b）﹣b＜f（a）﹣a恒成立；

設(shè)h（x）=f（x）﹣x=lnx+ ﹣x（x＞0），

則h（b）＜h（a）．

∴h（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞減；

∵h(yuǎn)′（x）= ﹣ ﹣1≤0在（0，+∞）上恒成立，

∴m≥﹣x2+x=﹣ + （x＞0），

∴m≥ ；

對(duì)于m= ，h′（x）=0僅在x= 時(shí)成立；

∴m的取值范圍是[ ，+∞）

【解析】（1）當(dāng)m=e時(shí)， ，x＞0，由此利用導(dǎo)數(shù)性質(zhì)能求出f（x）的極小值．（2）由g（x）= = =0，得m= ，令h（x）=x﹣ ，x＞0，m∈R，則h（1）= ，h′（x）=1﹣x2=（1+x）（1﹣x），由此利用導(dǎo)數(shù)性質(zhì)能求出函數(shù)g（x）=f′（x）﹣ 零點(diǎn)的個(gè)數(shù)．（3）（理）當(dāng)b＞a＞0時(shí)，f′（x）＜1在（0，+∞）上恒成立，由此能求出m的取值范圍．
【考點(diǎn)精析】本題主要考查了函數(shù)的極值與導(dǎo)數(shù)的相關(guān)知識(shí)點(diǎn)，需要掌握求函數(shù)的極值的方法是:（1）如果在附近的左側(cè),右側(cè),那么是極大值（2）如果在附近的左側(cè),右側(cè),那么是極小值才能正確解答此題．