Question

15．已知N（1，0），動點M滿足$k+{（\overrightarrow{OM}）^2}=1+K{（\overrightarrow{OM}•\overrightarrow{ON}）^2}$，k∈R，其中O是坐標(biāo)原點，
（1）求動點M的軌跡方程，并判斷曲線類型；
（2）如果動點M的軌跡是一條圓錐曲線，其離心率e滿足$\frac{{\sqrt{3}}}{3}≤e≤\frac{{\sqrt{2}}}{2}$，求實數(shù)k的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）利用動點M滿足$k+{（\overrightarrow{OM}）^2}=1+K{（\overrightarrow{OM}•\overrightarrow{ON}）^2}$，建立方程，對k討論，即可得出結(jié)論；
（2）利用（1）的結(jié)論，結(jié)合離心率e滿足$\frac{{\sqrt{3}}}{3}≤e≤\frac{{\sqrt{2}}}{2}$，求實數(shù)k的取值范圍．

解答 解：（1）設(shè)M（x，y），則k+x²+y²=1+kx²，
∴（1-k）x²+y²=1-k，
k=1，則y=0，表示x軸；
k=0，則x²+y²=1，表示以原點為圓心，1為半徑的圓；
k＜0，則表示焦點在y軸上的橢圓；
0＜k＜1，則焦點在x軸上的橢圓；
k＞1，則表示焦點在x軸上的雙曲線；
（2）k＜0，則表示焦點在y軸上的橢圓，離心率e=$\sqrt{\frac{-k}{1-k}}$，∴$\frac{\sqrt{3}}{3}≤\sqrt{\frac{-k}{1-k}}≤\frac{\sqrt{2}}{2}$，∴-1≤k≤-$\frac{1}{2}$；
0＜k＜1，則焦點在x軸上的橢圓，離心率e=$\sqrt{k}$，∵e滿足$\frac{{\sqrt{3}}}{3}≤e≤\frac{{\sqrt{2}}}{2}$，∴$\frac{1}{3}$≤k≤$\frac{1}{2}$．
∴實數(shù)k的取值范圍是-1≤k≤-$\frac{1}{2}$或$\frac{1}{3}$≤k≤$\frac{1}{2}$．

點評 本題考查軌跡方程，考查分類討論的數(shù)學(xué)思想，考查學(xué)生的計算能力，屬于中檔題．