Question

在平面直角坐標系xOy中，拋物線y=-

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x²-x+4與坐標軸的交點都在圓C上．
（1）求圓C的方程；
（2）若圓C與直線x-y+a=0交于A，B兩點，且OA⊥OB，求a的值．

Answer 1

考點：拋物線的簡單性質(zhì)

專題：計算題,直線與圓,圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：（1）法一：寫出曲線與坐標軸的交點坐標，利用圓心的幾何特征設(shè)出圓心坐標，構(gòu)造關(guān)于圓心坐標的方程，通過解方程確定出圓心坐標，進而算出半徑，寫出圓的方程；
法二：可設(shè)出圓的一般式方程，利用曲線與方程的對應(yīng)關(guān)系，根據(jù)同一性直接求出參數(shù)，即可得到圓的方程；
（2）利用設(shè)而不求思想設(shè)出圓C與直線x-y+a=0的交點A，B坐標，通過OA⊥OB建立坐標之間的關(guān)系，結(jié)合韋達定理尋找關(guān)于a的方程，通過解方程確定出a的值．

解答： 解：（1）法一：曲線y=-

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x²-x+4與y軸的交點為（0，4），
與x軸的交點為（-4，0），（2，0）．
可知圓心在直線x=-1上，
故可設(shè)該圓的圓心C為（-1，t），
則有1²+（t-4）²=3²+t²，解得t=1，
故圓C的半徑為

10

，所以圓C的方程為（x+1）²+（y-1）²=10．
法二：設(shè)圓x²+y²+Dx+Ey+F=0，
x=0，y=4有16+4E+F=0，
y=0，-

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2

x²-x+4=0與x²+Dx+F=0是同一方程，故有D=2，F(xiàn)=-8，E=-2，
即圓方程為x²+y²+2x-2y-8=0；
（Ⅱ）設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
其坐標滿足方程組

x-y+a=0 x2+y2+2x-2y-8=0

，
消去y，得到方程2x²+2ax+a²-2a-8=0，
由已知可得判別式△=64+16a-4a²＞0．
在此條件下利用根與系數(shù)的關(guān)系得到x₁+x₂=-a，x₁x₂=

a2-2a-8

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①，
由于OA⊥OB可得x₁x₂+y_1^y2=0，又y₁=x₁+a，y₂=x₂+a，
所以可得2x₁x₂+a（x₁+x₂）+a²=0②
由①②可得a=4或-2，
滿足△=64+16a-4a²＞0．
故a=-2或4．

點評：本題考查圓的方程的求解，考查學生的待定系數(shù)法，考查學生的方程思想，直線與圓的相交問題的解決方法和設(shè)而不求的思想，考查垂直問題的解決思想，考查學生分析問題解決問題的能力，屬于直線與圓的方程的基本題型．