Question

設(shè)數(shù)列{a_n}為等差數(shù)列，且a₅=14，a₇=20，數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和為S_n，b₁=

2

3

且3S_n=S_n-1+2（n≥2，n∈N）．
（Ⅰ）求數(shù)列{a_n}，{b_n}的通項(xiàng)公式；
（Ⅱ）若c_n=a_n•b_n，n=1，2，3，…，T_n為數(shù)列{c_n}的前n項(xiàng)和，T_n＜m對(duì)n∈N^*恒成立，求m的最小值．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列的求和,數(shù)列遞推式

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（Ⅰ）依題意，可求得等差數(shù)列{a_n}的公差d=3，a₁=2，從而可得數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；再由b₁=

2

3

且3S_n=S_n-1+2（n≥2，n∈N），可求得

bn

bn-1

=

1

3

（n≥3），

b2

b1

=

1

3

，從而可得{b_n}是以b1=

2

3

為首項(xiàng)，

1

3

為公比的等比數(shù)列，于是可求{b_n}的通項(xiàng)公式；
（Ⅱ）c_n=a_n•b_n=2（3n-1）•

1

3n

，利用錯(cuò)位相減法可求得{c_n}的前n項(xiàng)和T_n，依題意可得T_n＜m對(duì)n∈N^*恒成立時(shí)m的最小值．

解答： （本小題滿分12分）
解：（Ⅰ） 數(shù)列{a_n}為等差數(shù)列，公差d=

1

2

（a₇-a₅）=3，易得a₁=2，
所以a_n=3n-1  …（1分）
由3S_n=S_n-1+2（n≥2，n∈N），得3S_n=S_n-b_n+2，即b_n=2-2S_n，
所以b₂=2-（b₁+b₂）
，又b1=

2

3

，所以b₂=

2

9

，

b2

b1

=

1

3

…（2分）
由3S_n=S_n-1+2，當(dāng)n≥3時(shí)，得3S_n-1=S_n-2+2，
兩式相減得：3（S_n-S_n-1）=S_n-1-S_n-2，即3b_n=b_n-1，所以

bn

bn-1

=

1

3

（n≥3）…（4分）
又

b2

b1

=

1

3

，所以{b_n}是以b1=

2

3

為首項(xiàng)，

1

3

為公比的等比數(shù)列，于是b_n=2•

1

3n

  …（5分）
（Ⅱ）c_n=a_n•b_n=2（3n-1）•

1

3n

，
∴T_n=2[2•

1

3

+5•

1

32

+8•

1

33

+…+（3n-1）•

1

3n

]，…（6分）

1

3

T_n=2[2•

1

32

+5•

1

33

+…+（3n-4）•

1

3n

+（3n-1）•

1

3n+1

]，…（8分）
兩式相減得

2

3

T_n=2[3•

1

3

+3•

1

32

+3•

1

33

+…+3•

1

3n

-

1

3

-（3n-1）•

1

3n+1

]
=2[1+

1

3

+

1

32

+

1

33

+…+

1

3n-1

-

1

3

-（3n-1）•

1

3n+1

]
=2×

1-( 1 3 )n

1- 1 3

-

2

3

-2（3n-1）•

1

3n+1

…（9分）
所以T_n=

7

2

-

7

2

•

1

3n

-

n

3n-1

，…（11分）
從而T_n=

7

2

-

7

2

•

1

3n

-

n

3n-1

＜

7

2

，
∵T_n＜m對(duì)n∈N⁺恒成立，∴m≥

7

2

∴m的最小值是

7

2

 …（12分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查數(shù)列遞推關(guān)系的應(yīng)用，著重考查等差數(shù)列的通項(xiàng)公式與等比數(shù)列關(guān)系的確定，突出考查錯(cuò)位相減法求和，考查綜合分析與運(yùn)算能力，屬于難題．