Question

14．已知函數(shù)f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{{4}^{x}，x≤\frac{1}{2}}\\{lo{g}_{a}x，x＞\frac{1}{2}}\end{array}\right.$的最大值是2，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（　�。�

• A． （0，$\frac{\sqrt{2}}{2}$]
• B． （1，$\sqrt{2}$）
• C． （0，1）
• D． （0，$\frac{\sqrt{2}}{2}$）

Answer 1

分析 由題意可化為當(dāng)x$＞\frac{1}{2}$時(shí)，log_ax≤2恒成立；從而討論底數(shù)以確定函數(shù)單調(diào)性，從而解得．

解答 解：∵f（$\frac{1}{2}$）=$\sqrt{4}$=2，
且函數(shù)f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{{4}^{x}，x≤\frac{1}{2}}\\{lo{g}_{a}x，x＞\frac{1}{2}}\end{array}\right.$的最大值是2，
∴當(dāng)x$＞\frac{1}{2}$時(shí)，log_ax≤2恒成立；
當(dāng)a＞1時(shí)，log_ax≤2不可能恒成立；
當(dāng)0＜a＜1時(shí)，log_ax≤2恒成立可化為
$\frac{1}{2}$≥a²，
即0＜a≤$\frac{\sqrt{2}}{2}$；
故選A．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了分段函數(shù)的應(yīng)用及對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)的判斷與應(yīng)用．