Question

11．設(shè)A（-3，0），B（3，0）為兩定點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)P到A點(diǎn)的距離與到B點(diǎn)的距離之比為1：2，則點(diǎn)P的軌跡圖形所圍成的面積是16π．

Answer 1

分析 設(shè)P點(diǎn)的坐標(biāo)為（x，y），利用兩點(diǎn)間的距離公式代入等式2|PA|=|PB|，化簡(jiǎn)整理得（x-5）²+y²=16，所以點(diǎn)P的軌跡是一個(gè)圓，求出圓的半徑利用圓面積公式，即可算出所求圖形的面積．

解答 解：設(shè)P點(diǎn)的坐標(biāo)為（x，y），
∵A（-3，0），B（3，0），動(dòng)點(diǎn)P到A點(diǎn)的距離與到B點(diǎn)的距離之比為1：2，
∴$\sqrt{（x-3）^{2}+{y}^{2}}$=2$\sqrt{（x+3）^{2}+{y}^{2}}$，平方得（x-3）²+y²=4[（x+3）²+y²]，
化簡(jiǎn)得（x+5）²+y²=16，
∴點(diǎn)的軌跡是以（-5，0）為圓心、4為半徑的圓，
因此，點(diǎn)P的軌跡所包圍的圖形的面積S=π•4²=16π．
故答案為：16π．

點(diǎn)評(píng) 本題給出動(dòng)點(diǎn)P滿足2|PA|=|PB|，求動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程、軌跡所包圍的圖形的面積．著重考查了兩點(diǎn)間的距離公式、圓的標(biāo)準(zhǔn)方程、圓的面積公式和動(dòng)點(diǎn)軌跡的求法等知識(shí)，屬于中檔題．