【題目】已知函數(shù).
(Ⅰ)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間;
(Ⅱ)若函數(shù)上是減函數(shù),求實數(shù)a的最小值;
(Ⅲ)若,,使成立,求實數(shù)a的取值范圍.
【答案】(1) 增區(qū)間是 減區(qū)間是(2)(3)
【解析】試題分析:(1)先求導(dǎo)數(shù),再求導(dǎo)函數(shù)零點,根據(jù)零點分類討論導(dǎo)函數(shù)符號,確定單調(diào)區(qū)間(2)即等價于導(dǎo)函數(shù)上恒非正,利用變量分離,轉(zhuǎn)化為對應(yīng)函數(shù)最值:最大值,再利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)最大值,即得實數(shù)a的取值范圍,進而有最小值(3)等價于,由前兩題不難得到,,代入即得實數(shù)a的取值范圍.
試題解析:解:由已知函數(shù)的定義域均為,且.
(Ⅰ)函數(shù)當時,.所以函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間是當且時, .所以函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間是
(Ⅱ)∵在上單調(diào)遞減,∴ 恒成立,即恒成立,設(shè),∵,∴當時, ∴
Ⅱ)因f(x)在上為減函數(shù),故在上恒成立. 所以當時又 , 故當,即時,. 所以于是,故a的最小值為.
(Ⅲ)由已知得“當時,有”.由(Ⅱ),當時, , 由(Ⅰ),當時,有所以有故
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某中學(xué)高二年級開設(shè)五門大學(xué)先修課程,其中屬于數(shù)學(xué)學(xué)科的有兩門,分別是線性代數(shù)和微積分,其余三門分別為大學(xué)物理,商務(wù)英語以及文學(xué)寫作,年級要求每名學(xué)生只能選修其中一科,該校高二年級600名學(xué)生各科選課人數(shù)統(tǒng)計如下表:
其中選修數(shù)學(xué)學(xué)科的人數(shù)所占頻率為0.6,為了了解學(xué)生成績與選課情況之間的關(guān)系,用分層抽樣的方法從這600名學(xué)生中抽取10人進行分析.
(1)求和的取值以及抽取的10人中選修商務(wù)英語的學(xué)生人數(shù);
(2)選出的10名學(xué)生中恰好包含甲乙兩名同學(xué),其中甲同學(xué)選修的是線性代數(shù),乙同學(xué)選修的是大學(xué)物理,現(xiàn)從線性代數(shù)和大學(xué)物理兩個學(xué)科中隨機抽取3人,求這3人中正好有甲乙兩名同學(xué)的概率.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,ABCD是正方形,O是正方形的中心,PO⊥底面ABCD,E是PC的中點.
.求證:(Ⅰ)PA∥平面BDE;(Ⅱ)平面PAC⊥平面BDE;(III)若PB與底面所成的角為600, AB=2a,求三棱錐E-BCD的體積.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】寧夏某市2008年至2012年新建商品住宅每平方米的均價(單位:千元)的數(shù)據(jù)如下表:
年份 | 2008 | 2009 | 2010 | 2011 | 2012 |
年份序號x | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
每平米均價y | 2.0 | 3.1 | 4.5 | 6.5 | 7.9 |
(Ⅰ)求y關(guān)于x的線性回歸方程;
(Ⅱ)利用(Ⅰ)中的回歸方程,分析從2008年到2012年該市新建商品住宅每平方米均價的變化情況,并預(yù)測該市2015年新建商品住宅每平方米的均價.
附:回歸直線的斜率和截距的最小二乘估計公式分別為
,
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,已知平面平面,四邊形是正方形,四邊形是菱形,且,,點、分別為邊、的中點,點是線段上的動點.
(1)求證:;
(2)求三棱錐的體積的最大值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某種多面體玩具共有12個面,在其十二個面上分別標有數(shù)字1,2,3,…,12.若該玩具質(zhì)地均勻,則拋擲該玩具后,任何一個數(shù)字所在的面朝上的概率均相等.
為檢驗?zāi)撑婢呤欠窈细,制定檢驗標準為:多次拋擲該玩具,并記錄朝上的面上標記的數(shù)字,若各數(shù)字出現(xiàn)的頻率的極差不超過0.05.則認為該玩具合格.
(1)對某批玩具中隨機抽取20件進行檢驗,將每個玩具各面數(shù)字出現(xiàn)頻率的極差繪制成莖葉圖(如圖所示),試估計這批玩具的合格率;
(2)現(xiàn)有該種類玩具一個,將其拋擲100次,并記錄朝上的一面標記的數(shù)字,得到如下數(shù)據(jù):
朝上面的數(shù)字 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 |
次數(shù) | 9 | 7 | 8 | 6 | 10 | 9 | 9 | 8 | 10 | 9 | 7 | 8 |
1)試判定該玩具是否合格;
2)將該玩具拋擲一次,記事件:向上的面標記數(shù)字是完全平方數(shù)(能寫成整數(shù)的平方形式的數(shù),如,9為完全平方數(shù));事件:向上的面標記的數(shù)字不超過4.試根據(jù)上表中的數(shù)據(jù),完成以下列聯(lián)表(其中表示的對立事件),并回答在犯錯誤的概率不超過0.01的前提下,能否認為事件與事件有關(guān).
合計 | |||
合計 | 100 |
(參考公式及數(shù)據(jù):,)
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù).
(1)求函數(shù)的圖象在處的切線方程;
(2)證明:對任意的,都有;
(3)設(shè),比較與的大小,并說明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】有2名老師,3名男生,3名女生站成一排照相留念,在下列情況中,各有多少種不同站法?
(1)3名男生必須站在一起;
(2)2名老師不能相鄰;
(3)若3名女生身高都不等,從左到右女生必須由高到矮的順序站.(最終結(jié)果用數(shù)字表示)
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】設(shè)函數(shù),其中.
(1)若函數(shù)為偶函數(shù),求實數(shù)的值;
(2)求函數(shù)在區(qū)間上的最大值;
(3)若方程有且僅有一個解,求實數(shù)的取值范圍.
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